Question

【題目】在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．

（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點(diǎn)E、F，請(qǐng)直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中的Rt△PMN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜45°）．

①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15°時(shí)，連接EF，若正方形的邊長為2，請(qǐng)直接寫出線段EF的長；

③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP時(shí)，猜想此時(shí)PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=mBP時(shí)，請(qǐng)直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）PE=PF；（2）①成立；②；③PE=2PF，PE=（m﹣1）PF．

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可；

（2）①由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△FOA≌△EOD，即可得到答案；

②作OG⊥AB于G，由余弦的概念求出OF的長，由勾股定理求值即可；

③過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，由相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系，由解答結(jié)果總結(jié)規(guī)律得到當(dāng)BD=mBP時(shí)，PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

試題解析：（1）PE=PF，理由：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，∴PE=PF；

（2）①成立，理由：∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，∴∠DOE+∠AOE=90°，∵∠MPN=90°，∴∠FOA+∠AOE=90°，∴∠FOA=∠DOE，在△FOA和△EOD中，∵∠FAO=∠FDO，OA=OD，∠FOA=∠DOE，∴△FOA≌△EOD，∴OE=OF，即PE=PF；

②作OG⊥AB于G，∵∠DOM=15°，∴∠AOF=15°，則∠FOG=30°，∵cos∠FOG=，∴OF==，又OE=OF，∴EF=；

③PE=2PF，如圖3，過點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，∴HP=BP，∵BD=3BP，∴PD=2BP，∴PD=2 HP，又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，∴∠HPF=∠DPE，又∵∠BHP=∠EDP=45°，∴△PHF∽△PDE，∴，即PE=2PF，由此規(guī)律可知，當(dāng)BD=mBP時(shí)，PE=（m﹣1）PF．