Question

如圖，A，B是直線l上的兩點(diǎn)，且AB=2，兩個(gè)半徑相等的動(dòng)圓分別與l相切于A，B點(diǎn)，C是這兩個(gè)圓的公共點(diǎn)，則圓弧AC，CB與線段AB所圍成圖形面積S的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先判斷出當(dāng)r=1時(shí)兩圓外切，再根據(jù)切線的性質(zhì)可知四邊形ABEF是長(zhǎng)方形，由S_最大=S_{長(zhǎng)方形ABEF}-S_扇形ACF-S_扇形BCE，即可得出結(jié)論．

解答：解：∵AB=2，
∴當(dāng)r=1時(shí)兩圓正好外切，顯然當(dāng)兩圓外切時(shí)圓弧AC，CB與線段AB所圍成圖形面積S的值最大，
∴過(guò)C作CD垂直AB，
過(guò)點(diǎn)C作EF∥AB，分別過(guò)點(diǎn)AB作AF⊥EF，BE⊥EF，則四邊形ABEF是長(zhǎng)方形，
則S_最大=S_{長(zhǎng)方形ABEF}-S_扇形ACF-S_扇形BCE
=2×1-2×

1

4

π
=2-

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是面積及等積變換，涉及到切線的性質(zhì)、長(zhǎng)方形的面積、扇形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．