Question

如圖，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將△OAB繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD

（1）填空：點C的坐標是（____，____），點D的坐標是（____，____）；
（2）設直線CD與AB交于點M，求線段BM的長；
（3）在y軸上是否存在點P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）點C的坐標是（0，1），點D的坐標是（-2，0）； （2）由（1）可知CD，BC=1， 又∠1=∠5，∠4=∠3， ∴△BMC∽△DOC， ∴即， ∴BM=； （3）存在； 存在分兩種情況討論： ①以BM為腰時， ∵BM=，又點P在y軸上，且BP=BM， 此時滿足條件的點P有兩個，它們是P1（0，2+）、P2（0，2-）， 過點M作ME⊥y軸于點E， ∵∠BMC=90°， 則△BME∽△BCM， ∴， ∴， 又∵BM=BP， ∴PE=BE=， ∴BP=， ∴OP=2-=， 此時滿足條件的點P有一個，它是P3（0，）， ②以BM為底時，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點P、F， 由（2）得∠BMC=90°， ∴PF∥CM， ∵F是BM的中點， ∴BP=BC=， ∴OP=， 此時滿足條件的點P有一個，它是P4（0，） 綜上所述，符合條件的點P有四個，它們是：P1（0，2+）、P2（0，2-）、P3（0，）、P4（0，）。