Question

如圖，直線y₁=2x與雙曲線y2=

8

x

相交于點(diǎn)A、E．另一直線y₃=x+b與雙曲線交于點(diǎn)A、B，與x、y軸分別交于點(diǎn)C、D．直線EB交x軸于點(diǎn)F．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并比較線段OA、OB的長短；
（2）由函數(shù)圖象直接寫出函數(shù)y₂＞y₃＞y₁的自變量x的取值范圍；
（3）求證：△COD∽△CBF．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)A在直線y₁=2x與雙曲線y2=

8

x

上，解方程組

Y=2X Y= 8 X

，可得點(diǎn)A坐標(biāo)，再將求出

y= 8 x yB xB = 1 2

的解集即是B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理求出AO與BO的長；
（2）結(jié)合圖象當(dāng)x＜-2時(shí)，取同一值時(shí)，函數(shù)圖象在上面時(shí)函數(shù)值就大，得出y₂＞y₃＞y₁；
（3）欲證△DOC∽△CBF，已有∠OCD=∠BCF，再有一角對應(yīng)相等即可，求出直線AB、EB解析式，根據(jù)系數(shù)可判定他們垂直，即可得出解集．

解答：解：（1）由題意得：

y=2x y= 8 x

，
解得

x=2 y=4

，或

x=-2 y=-4

，
∴A（-2，-4），E（2，4），
將A坐標(biāo)代入y₃=x+b中，得b=-2，即y₃=x-2，
聯(lián)立得：

y= 8 x y=x-2

解得：

x=4 y=2

，
∴B（4，2）；
OA=

22+42

，OB=

22+42

，
∴AO=BO，

（2）∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4），
∴結(jié)合圖象當(dāng)x＜-2時(shí)，y₂＞y₃＞y₁；

（3）設(shè)直線EB的解析式為y=k₁x+b₁，直線AB的解析式為y=k₂x+b₂，
則有

4k1+b1=2 2k1+b1=4

，

-2k2+b2=-4 4k2+b2=2

，
解得：

k1=-1 b1=6

，

b2=-2 k2=1

∵k₁•k₂=-1，
∴AB⊥EF，∴∠CBF=∠DOC=90°
∵∠OCD=∠BCF，
∴△DOC∽△CBF．

點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及相似三角形的判定和勾股定理的應(yīng)用等知識，根據(jù)已知將函數(shù)解析式聯(lián)立求出公共解集是解題關(guān)鍵．