【答案】
分析:(1)此題要通過相似三角形求解;根據(jù)∠EAF=∠CAD=45°,可證得∠EAC=∠FAD,而∠ACB=∠D=45°,即可得△AEC∽△AFD,根據(jù)AC、AD的比例關(guān)系,即可得EC、FD的比例關(guān)系,由此得解.
(2)按照(1)的思路,此題要構(gòu)造相似三角形來求解;取BC的中點G,連接AG;首先通過證△AGC∽△AFD來得到EG、FD的比例關(guān)系,然后根據(jù)BC=2(BE+EG)求得BE、CF、AD的等量關(guān)系式.
(3)此題應(yīng)分兩種情況:
①如(2),點E、F分別在線段BC、CD上;過F作FH⊥BQ于H,由(2)的相似三角形易得FD=2EG=2,那么CF=1,在Rt△CFH中,即可求出FH、CH的值;進而可由勾股定理求得EF的長;由相似三角形△ADF∽△QCF易得CQ的長,即可求出EQ的值;
②點E、Q分別在CB、DC的延長線上;分別過A、F作BC的垂線,設(shè)垂足為M、N;易求得AM、FN、BM、EN的長,進而可求出GM、MN的值,根據(jù)AM、FN的長,易求得△AMQ、FNQ的相似比,即可求出NQ、MQ的值,從而求得EQ、EF的長,由此得解.
解答:解:(1)證明:∵∠BAD=135°,且∠BAC=90°,
∴∠CAD=45°,即△ABC、△ADC都是等腰直角三角形;
∴AD=
AC,且∠D=∠ACB=45°;
又∵∠EAC=∠DAF=45°-∠FAC,
∴△AEC∽△AFD,
∴AE:AD=EC:FD=1:
,即EC=
FD;
∴BC=BE+
DF,即BE+
DF=AD.
(2)2BE+DF=AD;理由如下:
取BC的中點G,連接AG;
易知:∠DAC=∠BCA=30°,∠B=∠D=60°;
在Rt△ABC中,G是斜邊BC的中點,則:
∠AGE=60°,AD=BC=2AG;
∵∠GAD=∠AGE=60°=∠EAF,
∴∠EAG=∠FAD=60°-∠GAF;
又∵∠AGE=∠D=60°,
∴△AGE∽△ADF,得:AG:AD=EG:FD=1:2;
即FD=2EG;
∴BC=2BG=2(BE+EG)=2BE+2EG=2BE+DF,即AD=2BE+DF.
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=30°,AB=3,則BC=AD=6,EC=4.
①如圖(2)①,過F作FH⊥BQ于H;
同(2)可知:DF=2EG=2,CF=CD-DF=1;
在Rt△CFH中,∠FCH=60°,則:
CH=
,F(xiàn)H=
;
易知:△ADF∽△QCF,由DF=2CF,可得CQ=
AD=3;
∴EQ=EC+CQ=4+3=7;
在R
t△EFH中,EH=EC+CH=
,F(xiàn)H=
;
由勾股定理可求得:EF=
.
②如圖(2)②;
∵∠EAF=∠GAD=60°,
∴∠EAG=∠FAD=60°+∠FAG,
又∵∠EGA=∠D=60°,
∴△EAG∽△FAD,得:EG:FD=AG:AD=1:2;
即FD=2EG=10,F(xiàn)C=10-CD=7;
在Rt△FCN中,∠FCN=60°,
易求得FN=
,NC=
,GN=
;
在等邊△ABG中,AM⊥BG,易求得AM=
,MG=
,MN=MG-GN=1;
由于△AMQ∽△FNQ,得:AM:FN=MQ:NQ=3:7,即QN=
,MQ=
;
EQ=EB+BM+MQ=2+
+
=
;
Rt△EFN中,EN=EG-NG=5-
=
,F(xiàn)N=
,
由勾股定理,得:EF=
;
綜上可知:EQ=7或
,EF=
或
.
點評:此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理、直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用,同時還涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想,難度較大.