Question

如圖，正方形ABCD中，E是AD的中點，點F在DC上，且DC=4DF，試判斷△BEF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：首先設DF=x，則DC=AB=BC=4x，則AE=ED=2x，CF=4x-x=3x，然后再利用勾股定理表示出EF²，EB²，BF²，再根據(jù)它們的關系得到EF²+EB²=BF²，根據(jù)勾股定理逆定理可得△BEF是直角三角形．

解答：解：△BEF是直角三角形．
設DF=x，則DC=AB=BC=4x，
∴AE=ED=2x，CF=4x-x=3x．
在Rt△EDF中，EF²=ED²+DF²=x²+（2x）²=5x²；
在Rt△AEB中，EB²=EA²+AB²=（2x）²+（4x）²=20x²；
在Rt△BCF中，BF²=BC²+CF²=（4x）²+（3x）²=25x²；
∴EF²+EB²=BF²，
∴△BEF是直角三角形．

點評：此題主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，關鍵是掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個三角形就是直角三角形．