Question

【題目】【題目】已知，拋物線y=ax2+ax+b（a≠0）與直線y=2x+m有一個公共點M（1，0），且a＜b．

（1）求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點D坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）；

（2）直線與拋物線的另外一個交點記為N，求△DMN的面積與a的關(guān)系式；

（3）a=﹣1時，直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點G，點G、H關(guān)于原點對稱，現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位（t＞0），若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點，試求t的取值范圍．

【答案】（1）b=﹣2a，頂點D的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【解析】試題分析：（1）把M點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b與a的關(guān)系，可用a表示出拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點D的坐標(biāo)；
（2）把點代入直線解析式可先求得m的值，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y，可得到關(guān)于x的一元二次方程，可求得另一交點N的坐標(biāo)，根據(jù)a<b，判斷a<0，確定D、M、N的位置，畫圖1，根據(jù)面積和可得的面積即可；
（3）先根據(jù)a的值確定拋物線的解析式，畫出圖2，先聯(lián)立方程組可求得當(dāng)GH與拋物線只有一個公共點時，t的值，再確定當(dāng)線段一個端點在拋物線上時，t的值，可得：線段GH與拋物線有兩個不同的公共點時t的取值范圍．

試題解析：(1)∵拋物線有一個公共點M(1,0)，

∴a+a+b=0，即b=2a，

∴拋物線頂點D的坐標(biāo)為

(2)∵直線y=2x+m經(jīng)過點M(1,0)，

∴0=2×1+m，解得m=2，

∴y=2x2，

則

得

∴(x1)(ax+2a2)=0,

解得x=1或

∴N點坐標(biāo)為

∵a<b，即a<2a，

∴a<0，

如圖1，設(shè)拋物線對稱軸交直線于點E，

∵拋物線對稱軸為

設(shè)△DMN的面積為S，

(3)當(dāng)a=1時，

拋物線的解析式為：

有

解得：

∴G(1,2)，

∵點G、H關(guān)于原點對稱，

∴H(1,2)，

設(shè)直線GH平移后的解析式為：y=2x+t，

x2x+2=2x+t，

x2x2+t=0，

△=14(t2)=0，

當(dāng)點H平移后落在拋物線上時,坐標(biāo)為(1,0)，

把(1,0)代入y=2x+t，

t=2，

∴當(dāng)線段GH與拋物線有兩個不同的公共點,t的取值范圍是

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】搖椅是老年人很好的休閑工具，右圖是一張搖椅放在客廳的側(cè)面示意圖，搖椅靜止時，以O(shè)為圓心OA為半徑的的中點P著地，地面NP與相切，已知∠AOB=60°，半徑OA=60cm，靠背CD與OA的夾角∠ACD=127°，C為OA的中點，CD=80cm，當(dāng)搖椅沿滾動至點A著地時是搖椅向后的最大安全角度．

（1）靜止時靠背CD的最高點D離地面多高？

（2）靜止時著地點P至少離墻壁MN的水平距離是多少時？才能使搖椅向后至最大安全角度時點D不與墻壁MN相碰．

（精確到1cm，參考數(shù)據(jù)π取3.14，sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75，sin67°=0.92，cos67°=0.39，tan67°=2.36， =1.41， =1.73）

Answer 1

【答案】（1）244cm（2）靜止時著地點P至少離墻壁MN的水平距離是96cm時，才能使搖椅向后至最大安全角度時點D不與墻壁MN相碰

【解析】試題分析：（1）如圖，作CJ∥PN交OP于J，DH⊥CJ于H．求出DH、JP即可解決問題；
（2）如圖．當(dāng)OA⊥PN時，作DH⊥AC于H．求出DH、PA即可解決問題；

試題解析：（1）如圖，作CJ∥PN交OP于J，DH⊥CJ于H．

在 中，

在 中，

∴靜止時靠背CD的最高點D離地面的高為210.4+34.0≈244（cm）．

（2）如圖．當(dāng)時，作于H．

在中，

∴靜止時著地點P至少離墻壁MN的水平距離是96cm時，才能使搖椅向后至最大安全角度時點D不與墻壁MN相碰.