Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P使得△PDQ是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）根據(jù)解析式求得拋物線對(duì)稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，4），設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，m），根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)P在DQ中垂線y=$\frac{4+m}{2}$上，即可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，據(jù)此根據(jù)解析式表示出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1±$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)知∠DPF=30°，由tan∠DPF=$\frac{DF}{PF}$可得$\frac{\frac{4-m}{2}}{\sqrt{\frac{4-m}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解之即可求得m的值，繼而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點(diǎn)C（0，3）代入得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）存在，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，m），

∵△PDQ是等邊三角形，且底邊DQ⊥x軸，
∴DQ的中垂線PF∥x軸，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=$\frac{4+m}{2}$，
∵點(diǎn)P在函數(shù)y=-（x-1）²+4的圖象上，
∴-（x-1）²+4=$\frac{4+m}{2}$，
解得：x=1±$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，
∴PF=1+$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$-1=$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，DF=$\frac{4-m}{2}$，
∵△PDQ是等邊三角形，
∴$∠DPF=\frac{1}{2}∠DPQ=30°$，
∴由tan∠DPF=$\frac{DF}{PF}$可得$\frac{\frac{4-m}{2}}{\sqrt{\frac{4-m}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：m=$\frac{10}{3}$，
當(dāng)m=$\frac{10}{3}$時(shí)，y=$\frac{m+4}{2}$=$\frac{11}{3}$，x=1±$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3±\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，$\frac{11}{3}$）或（$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，$\frac{11}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．