Question

已知a，b為正整數(shù)，且滿足，則a+b=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)關(guān)系式，故令設(shè)a+b=4k，a²+ab+b²=49k（k是正整數(shù)）．根據(jù)這兩式與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求得k的取值范圍．再就k的取值范圍討論a有意義得取值．進(jìn)而求得a+b的值．
解答：解：，
設(shè)a+b=4k，a²+ab+b²=49k （k是正整數(shù)），
則b=4k-a，
那么：a²+ab+b²=a²+a（4k-a）+（4k-a）²=a²-4ka+16k²=49k，
即：a²-4ka+16k²-49k=0，
a是正整數(shù)，則方程有正整數(shù)解，
△=（4k）²-4（16k²-49k）=196k-48k²≥0，
4k（49-12k）≥0，
k≤，而k是正整數(shù)
∴1≤k≤4
又∵a=，且a為正整數(shù)
∴為整數(shù)
當(dāng)k=1時(shí)，=；
當(dāng)k=2時(shí)，=；
當(dāng)k=3時(shí)，=2；
當(dāng)k=4時(shí)，=4；
∴k=4，
此時(shí)a=，
即a=10 或 a=6，
若a=10，則b=4×4-10=6，
若a=6，則b=4×4-6=10，
∴a+b=16．
故答案為：16．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵是設(shè)a+b=4k，a²+ab+b²=49k （k是正整數(shù)），轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決．