Question

如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，C為半圓ACB的中點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)D，連接CD交AB于點(diǎn)E．
求證：（1）PD=PE；
（2）PE²=PA•PB．

Answer 1

分析：（1）求PD=PE，可證所對(duì)的角相等；連接OC、OD，C是半圓ACB的中點(diǎn)，則CO⊥AB；由切線的性質(zhì)易知OD⊥PD，則∠CEO和∠PDE是等角的余角，所以∠CEO=∠PDE，而∠CEO和∠PED是對(duì)頂角，等量代換后即可證得所求的結(jié)論；
（2）由于PD=PE，證PD²=PA•PB，可將乘積式化為比例式，然后證對(duì)應(yīng)的三角形相似即可，即連接AD、BD，證△PBD∽△PDA．

解答：證明：（1）連接OC、OD，（1分）
∵C是半圓ACB的中點(diǎn)
∴∠COA=∠COB
∵∠COA+∠COB=180°
∴∠COA=∠COB=90°
∴OD⊥PD，OC⊥AB．
∴∠PDE=90°-∠ODE，
∠PED=∠CEO=90°-∠C，
又∵OC=OD，
∴∠C=∠ODE，
∴∠PDE=∠PED．（4分）
∴PE=PD．（5分）

（2）連接AD、BD，（6分）
∴∠ADB=90°．
∵∠BDP=90°-∠ODB，∠A=90°-∠OBD，
又∵∠OBD=∠ODB，∴∠BDP=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△PDB∽△PAD．（8分）
∴

PD

PB

=

PA

PD

，∴PD²=PA•PB．
∴PE²=PA•PB．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠正確的構(gòu)建出相似三角形是解答（2）題的關(guān)鍵．