Question

如圖，MN∥PQ，直線l分別交MN、PQ于點A、C，同旁內角的平分線AB、CB相交于點B，AD、CD相交于點D．試證明四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

考點：矩形的判定

專題：證明題

分析：首先推出∠BAC=∠DCA，繼而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，進而推出AD∥CB，因此四邊形ABCD平行四邊形，再證明∠ABC=90°，可得平行四邊形ABCD是矩形．

解答：證明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分別平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=

1

2

∠MAC、∠DCA=

1

2

∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分別平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=

1

2

∠ACP、∠DAC=

1

2

∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD平行四邊形，
∵∠BAC=

1

2

∠MAC，∠ACB=

1

2

∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

點評：此題主要考查了矩形的判定，關鍵是掌握有一個角是直角的平行四邊形是矩形．