Question

如圖1，把邊長分別是為4和2的兩個正方形紙片OABC和OD′E′F′疊放在一起．
（1）操作1：固定正方形OABC，將正方形OD′E′F′繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形ODEF，如圖2，連接AD、CF，線段AD與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論；
（2）操作2，如圖2，將正方形ODEF沿著射線DB以每秒1個單位的速度平移，平移后的正方形ODEF設(shè)為正方形PQMN，如圖3，設(shè)正方形PQMN移動的時間為x秒，正方形PQMN與正方形OABC的重疊部分面積為y，直接寫出y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）操作3：固定正方形OABC，將正方形OD′E′F′繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到正方形OHKL，如圖4，求△ACK的面積．

Answer 1

（1）相等  見解析    （2）見解析     （3）8

解：（1）相等
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOB=∠COF，
在△AOD和△COF中，

∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF；
（2）①當0≤x≤4﹣4時，y=2²﹣（2﹣x）²=﹣x²+2x+2；
②當4﹣4≤x≤2時，y=2²﹣（2﹣x）²﹣（4+x﹣4）²；
③2≤x≤4﹣2時，y=2²﹣（4+x﹣4）²；
④4﹣2≤x≤4時，y=（4﹣x）²
⑤x≥4時，y=0．
（3）連接OK，

∵∠COK=∠ACO=45°，
∴OK∥AC，
∴S_△ACK=S_△AOC=8．
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOB=∠COF，然后證得△AOD≌△COF后即可證得AD=CF；
（2）分當0≤x≤4﹣4時、當4﹣4≤x≤2時，2≤x≤4﹣2時、4﹣2≤x≤4時、x≥4時五種情況列出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）連接OK，利用內(nèi)錯角相等得到OK∥AC，然后得到S_△ACK=S_△AOC=8．