Question

如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CB—BA向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）點(diǎn)P將要運(yùn)行路徑AD的長度為     ；點(diǎn)Q將要運(yùn)行的路徑折線CB—BA的長度為        .
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量t的取范圍；
②求當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？
（3）如圖2，若點(diǎn)Q的速度為每秒a個(gè)單位長（a≤），當(dāng)t =4秒時(shí)：
①此時(shí)點(diǎn)Q是在邊CB上，還是在邊BA上呢？
②△APQ是等腰三角形，請求出a的值．

Answer 1

（1）5；10；（2）(≤t＜5)；，6；（3）CB，．

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，再根據(jù)勾股定理即可求出菱形的邊長；
（2）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，由題意，得AP=t，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，由直角三角形的性質(zhì)求出BE的長，由三角形的面積公式可得到S與t的關(guān)系式；
②當(dāng)≤t＜5時(shí)，點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)，由題意，得AP=t，AQ=10-2t，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出S關(guān)于t的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答即可；
（3）先判斷出等腰三角形的兩腰長，過點(diǎn)Q作QM⊥AP，垂足為點(diǎn)M，QM交AC于點(diǎn)F，根據(jù)△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，進(jìn)而可得出a的值．
試題解析：（1）5；10
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，5≤2t＜10，即≤t＜5時(shí).
如圖,過點(diǎn)B作BE⊥AD，垂足為E，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，則QG∥BE.

由題意可得BE=， AP= t，AQ=10－2t．
∴△AQG∽△ABE, ∴,
∴QG=．
∴，
即(≤t＜5) ．
∵＜0,所以s有最大值.

∴當(dāng)t=時(shí)，S的最大值為6．
（3） 解：∵a≤，則4a≤5，
∴點(diǎn)Q在CB上，
作QM⊥AD于M，QM交AC于點(diǎn)F,則QM為菱形的高.

由前面可知，QM==4.8
而當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)行到點(diǎn)M時(shí)，QM最小，
所以PQ≥QM，
∵t=4時(shí)，PA=4，∴QM>PA.
∴PQ≥MQ＞PA，類似的AQ＞MQ＞PA
∴QA=QP，△APQ是等腰三角形．
∵QM⊥AP
∴AM=AP=2.由△AMF∽△AOD
得, 而AM=2,OD=3,OA=4
∴,
∴．
由△AMF∽△CQF,
,而QF=，F(xiàn)M=，AM=2.
∴CQ=．
而當(dāng)t=4時(shí)，CQ=4a
所以4a= ，解得a=．