在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),若將經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的直線y=kx+精英家教網(wǎng)b沿y軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn),且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2.
(1)求直線AC及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如果P是線段AC上一點(diǎn),設(shè)△ABP、△BPC的面積分別為S△ABP、S△BPC,且S△ABP:S△BPC=2:3,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)⊙Q的半徑為1,圓心Q在拋物線上運(yùn)動(dòng),則在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切的情況?若存在,求出圓心Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.并探究:若設(shè)⊙Q的半徑為r,圓心Q在拋物線上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)r取何值時(shí),⊙Q與兩坐軸同時(shí)相切.
分析:(1)根據(jù)“過A、C兩點(diǎn)的直線y=kx+b沿y軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)”,即可得到c-3=0,由此可得到C點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)A、C的坐標(biāo)即可求出直線AC的解析式;根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及A、C的坐標(biāo),即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)由于△ABP和△BPC等高不等底,那么它們的面積比等于底邊的比,由此可求出AP、PC的比例關(guān)系,過P作x軸的垂線,通過構(gòu)建的相似三角形的相似比即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)①此題要分成兩種情況討論:
一、⊙Q與x軸相切,可設(shè)出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線的解析式表示出它的縱坐標(biāo),若⊙Q與x軸相切,那么Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為⊙Q的半徑1,由此可列方程求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);
二、⊙Q與y軸相切,方法同一;
②若⊙Q與x、y軸都相切,那么Q點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等,可據(jù)此列方程求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得到⊙Q的半徑.
解答:解:(1)∵y=kx+m沿y軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn),
∴m=3,C(0,3).
將A(-3,0)代入y=kx+3,
得-3k+3=0.
解得k=1.
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3.
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2
9a-3b+c=0
-
b
2a
=-2
c=3
,
解得
a=1
b=4
c=3
;
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+4x+3;

(2)如圖,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D.
精英家教網(wǎng)∵S△ABP:S△BPC=2:3,
1
2
AP•BD:
1
2
PC•BD=2:3
∴AP:PC=2:3.
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,
∵PE∥CO,
∴△APE∽△ACO,
PE
CO
=
AP
AC
=
2
5

∴PE=
2
5
OC=
6
5

6
5
=x+3
,
解得-
9
5

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-
9
5
6
5
)
;

(3)(Ⅰ)假設(shè)⊙Q在運(yùn)動(dòng)過程中,存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切的情況.
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0).精英家教網(wǎng)
①當(dāng)⊙Q與y軸相切時(shí),有|x0|=1,即x0=±1.
當(dāng)x0=-1時(shí),得y0=(-1)2+4×(-1)+3=0,∴Q1(-1,0)
當(dāng)x0=1時(shí),得y0=12+4×1+3=8,∴Q2(1,8)
②當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí),有|y0|=1,即y0=±1
當(dāng)y0=-1時(shí),得-1=x02+4x0+3,
即x02+4x0+4=0,解得x0=-2,
∴Q3(-2,-1)
當(dāng)y0=1時(shí),得1=x02+4x0+3,
即x02+4x0+2=0,解得x0=-2±
2
,
Q4(-2-
2
,1)
,Q5(-2+
2
,1)

綜上所述,存在符合條件的⊙Q,其圓心Q的坐標(biāo)分別為Q1(-1,0),Q2(1,8),Q3(-2,-1),Q4(-2-
2
,1)
,Q5(-2+
2
,1)

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0).
當(dāng)⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切時(shí),有y0=±x0
由y0=x0,得x02+4x0+3=x0,即x02+3x0+3=0,
∵△=32-4×1×3=-3<0
∴此方程無解.
由y0=-x0,得x02+4x0+3=-x0,
即x02+5x0+3=0,
解得x0=
-5±
13
2

∴當(dāng)⊙Q的半徑r=|x0|=|
-5±
13
2
|=
13
2
時(shí),⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切.(12分)
點(diǎn)評(píng):此題是二次函數(shù)的綜合題,主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定,三角形面積的求法,相似三角形的判定和性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí);需要注意的是(3)①所求的是⊙Q與坐標(biāo)軸相切,并沒有說明是x軸,還是y軸,因此要將所有的情況都考慮到,以免漏解.
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13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(2,-2),在y軸上確定點(diǎn)P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的有
4
個(gè).

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=1,并且經(jīng)過(-2,-5)和(5,-12)兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C 點(diǎn),D是線段BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),若以B、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)M在此拋物線上,若要使以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G,再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H,得到矩形EFGH.則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí),求出該正方形的邊長(zhǎng);
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M,使△MBC中BC邊上的高為7
2
?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(2,-2),B(0,-2),在坐標(biāo)平面中確定點(diǎn)P,使△AOP與△AOB相似,則符合條件的點(diǎn)P共有
5
5
個(gè).

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(2,1)、B(4,1)、C(1,3).與△ABC與△ABD全等,則點(diǎn)D坐標(biāo)為
(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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