Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊由A向B以1厘米/秒的速度勻速移動（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿拆線BC－CD以2厘米/秒的速度勻速移動。點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也隨之停止。聯(lián)結(jié)AQ交BD于點(diǎn)E。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒。

（1）用t表示線段PB的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動時，t為何值時，∠BEP和∠BEQ相等；

（3）當(dāng)t為何值時，線段P、Q之間的距離為2cm.

Answer 1

【答案】（1）PB=4-t；（2）t=;（3）t=2或；

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件即可求解；（2）由正方形的性質(zhì)得出∠PBE=∠QBE，再證明△BEP≌△BEQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=BQ，即可得出方程4-t=2t，解方程即可求得t值；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時和②當(dāng)時，根據(jù)已知條件，利用勾股定理得出方程，解方程即可求得t的值.

（1）PB=AB-AP，

∵AB=4，AP=1×t=t，

∴PB=4-t.

（2）當(dāng)t=時，∠BEP和∠BEQ相等，理由如下：

∵四邊形ABCD正方形，

∴ 對角線BD平分∠ABC，

∴∠PBE=∠QBE，

當(dāng)∠BEP=∠BEQ 時，

在△BEP和△BEQ中,

，

∴△BEP≌△BEQ，

∴BP=BQ,

即4-t=2t，

解得t=；

（3）分兩種情況討論：

①當(dāng) 時，即當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q點(diǎn)在BC上運(yùn)動時，

連接PQ，如圖1所示：

根據(jù)勾股定理得：，

即

解得t=2或t=（負(fù)值舍去）；

②當(dāng) 時，即當(dāng)P點(diǎn)在AB上,Q點(diǎn)在CD上運(yùn)動時，

作PM⊥CD于M，如圖2所示：

∴PM=BC=4，CM=BP=4-t，MQ=2t-4-(4-t)=3t-8，

根據(jù)勾股定理得：，

即

解得t=2（舍去）或t=；

綜上，當(dāng)t=2或t=時，PQ之間的距離為2cm.