Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）求證：AO=AM；
（3）探究：
①當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時 + 的值；
②試說明無論k取何值， + 的值都等于同一個常數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1），

∴ ，

解得 ，

所以，拋物線的解析式為y= x2﹣1；

（2）

證明：設(shè)點A的坐標為（m， m2﹣1），

則AO= = m2+1，

∵直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，

∴點M的縱坐標為﹣2，

∴AM= m2﹣1﹣（﹣2）= m2+1，

∴AO=AM；

（3）

①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，

∴ + = + =1；

②k取任何值時，設(shè)點A（x1， x12﹣1），B（x2， x22﹣1），

則 + = ，

聯(lián)立 ，

消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16k2+8，

x12x22=16，

∴ + = =1，

∴無論k取何值， + 的值都等于同一個常數(shù)1．

【解析】（1）把點C、D的坐標代入拋物線解析式求出a、c，即可得解；（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點A的坐標，然后求出AO、AM的長，即可得證；（3）①k=0時，求出AM、BN的長，然后代入 + 計算即可得解；②設(shè)點A（x1 ， x12﹣1），B（x2 ， x22﹣1），然后表示出 + ，再聯(lián)立拋物線與直線解析式，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2 ， x12 ， 并求出x12+x22 ， x12x22 ， 然后代入進行計算即可得解．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．