Question

下面我們來定義一個數(shù)學(xué)概念．平面區(qū)域的平分線：一條曲線圍成的平面區(qū)域．連接邊界兩點(diǎn)的一條曲線，如果把平面區(qū)域分成面積相等的兩部分，則稱其為區(qū)域的平分線．（注意：直線段、折線都視為曲線．）
我們可以求得邊長為1的等邊△ABC三條平分線：等邊三角形的高、平行于邊的線段和圓心在頂點(diǎn)的

1

6

圓周，它們的長度分別為

3

2

、

2

2

和

π 4 3

．如圖．

請解答下面的問題：給定一個邊長為1的正方形ABCD，如圖．
（1）指出與例子類似的三條平分線；
（2）求出你指出的三條平分線的長度；
（3）比較這三條平分線長度的大小．

Answer 1

分析：（1）正方形的對角線，過中心且平行于邊的線段，以正方形一個頂點(diǎn)為圓心的四分之一圓周這三條弧線，
（2）正方形的對角線，過中心且平行于邊的線段的長度易求，以正方形一個頂點(diǎn)為圓心的四分之一圓周這三條弧線根據(jù)弧長公式求出，
（3）直接作比較即可．

解答：解：（1）正方形的對角線，過中心且平行于邊的線段，以正方形一個頂點(diǎn)為圓心的四分之一圓周．（3分）
（2）前兩條平分線的長分別是

2

和1．（5分）
下面求第三條平分線的長度：
設(shè)圓的半徑為x，則

1

4

πx2=

1

2

，得x=

2 π

，所以四分之一圓周長為

π 2

．（8分）
（3）因?yàn)?＞π，所以

2

＞

π 2

＞1
所以，正方形的對角線長＞以正方形一個頂點(diǎn)為圓心的四分之一圓弧長＞過中心且平行于邊的線段長．（11分）

點(diǎn)評：本題主要考查弧長的計(jì)算和正方形的性質(zhì)，此題很新穎，但不是很難．