Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=BC，點D為BC的中點，CE⊥AD于點E，其延長線交AB于點F，連接DF.求證：∠ADC=∠BDF.

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

作BG⊥CB，交CF的延長線于點G，由ASA證明△ACD≌△CBG，得出CD=BG，∠CDA=∠CGB，證出BG=BD，∠FBD=∠GBF=∠CBG，再由SAS證明△BFG≌△BFD，得出∠FGB=∠FDB，即可得出結(jié)論．

證明：作BG⊥CB，交CF的延長線于點G，如圖所示：

∵∠CBG=90°，CF⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BCG，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD=BG，∠CDA=∠CGB，
∵CD=BD，
∴BG=BD，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBD=∠GBF=∠CBG，
在△BFG和△BFD中，

∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴∠FGB=∠FDB，
∴∠ADC=∠BDF．