Question

【題目】如圖，矩形OABC在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（0，4），C（2，0）．將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉135°，得到矩形EFGH（點E與O重合）．
（1）若GH交y軸于點M，則∠FOM=°，OM=；
（2）將矩形EFGH沿y軸向上平移t個單位． ①直線GH與x軸交于點D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH與矩形OABC重疊部分的面積為S個平方單位，試求當0＜t≤4 ﹣2時，S與t之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】
（1）45；2
（2）解：①如圖所示：連接AD，BO

∵AD∥BO，AB∥OD，

∴四邊形ADOB為平行四邊形，

∴DO=AB=2，

由平移可知：∠HEM=45°，

∴∠OMD=∠ODM=45°，

∴OM=OD=2，

由平移可知：EM=2 ，

∴矩形EFGH平移的路程t=2 ﹣2=2（ ﹣1）；

②分三種情況考慮：

（i）如圖1所示，當0＜t≤2時，重疊部分為等腰直角三角形，

此時OE=t，則重疊部分面積S= t2；

（ii）如圖2所示，當2＜t≤2 時，重疊部分為直角梯形，

此時S= [（t﹣2）+t]×2=2t﹣2；

（iii）如圖3所示，當2 ＜t≤4 ﹣2時，E點在A點下方，重疊部分為五邊形，

此時S=（2t﹣2）﹣ （t﹣2 ）2=﹣ t2+2（ +1）t﹣6．

綜上，S= ．

故答案為：45；2

【解析】解：（1）如圖所示：
由旋轉可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF﹣∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM為等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
則根據(jù)勾股定理得：OM=2 ；
（1）由旋轉可得出∠AOF=135°，再由矩形的內角為直角得到一個角為直角，利用∠AOF﹣∠AOC求出∠COF的度數(shù)，再由∠MOC為直角，由∠MOC﹣∠COF即可求出∠MOF的度數(shù)；由∠MOF的度數(shù)為45°，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，可得出三角形OHM為等腰直角三角形，由OH=MH=2，利用勾股定理即可求出OM的長；（2）①如圖所示，當AD與BO平行時，由AB與DO平行，利用兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到ABOD為平行四邊形，由平行四邊形的對邊相等得到AB=DO=2，由平移可知：∠HEM=45°，可得出∠OMD=∠ODM=45°，即三角形ODM為等腰直角三角形，得到OD=OM，由OD的長求出OM的長，由三角形HEM為等腰直角三角形，且直角邊長為2，利用勾股定理求出EM的長，用EM﹣OM即可求出平移的距離，即為t的值；②分三種情況考慮：（i）如圖1所示，當0＜t＜2時，重疊部分為等腰直角三角形，由平移的距離為t，得到等腰直角三角形直角邊為t，利用三角形的面積公式即可表示出S；（ii）如圖2所示，當2≤t＜2 時，重疊部分為直角梯形，表示出上底，下底及高，利用梯形的面積公式表示出S即可；（iii）圖3所示，當2 ≤t≤4 ﹣2時，重疊部分為五邊形，由梯形面積﹣三角形面積，表示出S即可．