Question

【題目】如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．

（1）性質探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．

（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．

①如圖2，當∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；

②如圖3，當∠ACB≠90°，點M、N分別是AC、AP中點連接MN．若MN＝，則S△ABC＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①，②

【解析】

（1）利用勾股定理即可得出結論；

（2）①根據SAS可證明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的長；

②連接PC、AQ交于點D，同①可證△PBC≌△ABQ，則AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2，可知AQ＝PC＝4．延長QB作AE⊥QE，求出BE的長，則答案可求出．

解：（1）證明：如圖中，

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AB2+CD2＝AD2+BC2；

（2）①如圖，連接PC、AQ交于點D，

∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，

∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，

∴∠PBC＝∠ABQ，

∴△PBC≌△ABQ（SAS），

∴∠BPC＝∠BAQ，

又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，

即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，

∴∠PDA＝90°，

∴PC⊥AQ，

利用（1）中的結論：AP2+CQ2＝AC2+PQ2

即（5）2+（4）2＝32+PQ2；

∴PQ＝．

②如圖，連接PC、AQ交于點D，

同①可證△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，

∵M、N分別是AC、AP中點，

∴MN＝，

∵MN＝2，

∴AQ＝PC＝4．

延長QB作AE⊥QE，

則有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，

∵EQ＝4+BE，

∴（4+BE）2﹣BE2＝23，

解得BE＝，

∴S△ABC＝BC×BE＝＝．

故答案為：．