Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數；

（3）如果BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）30°；（3）.

【解析】試題分析：（1）連接 圓的半徑相等和已知條件證明,即可證明 是的切線；
（2）連接 首先證明是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠的度數；
（3）過點O作OG⊥AB于點G，得到AG=BG，在中設DE=5x，則AE=13x，AD=12x，AO=24x，把表示出來，在中，用三角函數的知識列出方程，解出得值，即可求出半徑.

試題解析：(1)證明：連接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC.

又∵CD⊥OA.

∴OB⊥BC

∴BC是的切線.

(2)連接OF,AF,BF,

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等邊三角形，

(3)連接OF，AF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF=OA,

過點O作OG⊥AB于點G，得到AG=BG，

在中

設DE=5x，則AE=13x，AD=12x，AO=24x，

∵BE=10，∴AB=10+13x.

則

又∵中, 則

則

解得