Question

如圖，⊙O是O為圓心，半徑為的圓，直線y=kx+b交坐標軸于A、B兩點．
（1）若OA=OB
①求k；
②若b=4，點P為直線AB上一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為C、D，若∠CPD=90°，求點P的坐標；
（2）若，且直線y=kx+b分⊙O的圓周為1：2兩部分，求b．

Answer 1

解：（1）①由OA=OB，設(shè)A點坐標（a，0），則點B的坐標（0，a），
把這兩點代入直線的解析式y(tǒng)=kx+b得：，
解得：k=-1．
②由題意得，Rt△POC≌Rt△POD，
∴∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°，OP=OC=R=，
又∵直線的函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+4，
故設(shè)P點坐標（x，-x+4）
OP==，解得：x=1或3
∴P（1，3）或（3，1）
（2）由題意得，當(dāng)直線被切割的弦所對的圓周角為120°時，
弦長為2Rsin60°=R時，弦分圓周為1：2，符合題意，
聯(lián)立直線和圓的方程得，

將①代入②消去y得x²+（-+b）²=5，即x²-bx+b²-5=0
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²-b²+16=-b²+16，
將①代入②消去x得 （2b-2y）²+y²=5，即5y²-8by+4b²-5=0
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=b²-b²+16=-b²+16，
將解得的兩交點坐標用兩點間距離公式得=
解得：b=±．
分析：（1）①由OA=OB，設(shè)出A、B兩點坐標代入直線y=kx+b即可求得k；
②由題意得，Rt△POC≌Rt△POD∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°算出OP的長，則P點坐標即可確定；
（2）根據(jù)題意，當(dāng)直線被⊙O切割的弦長對應(yīng)的劣弧的圓心角為120°時，求出b即可．
點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．