Question

【題目】已知：如圖，直線交坐標(biāo)軸于A、C兩點(diǎn)，拋物線過A、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線位于第三象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，試問△PAC是否存在最大值，若存在，請求出△APC取最大值以及點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，若△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，△PAC的面積最大值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或或（，）或（，）．

【解析】

（1）由一次函數(shù)解析式求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入到二次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求解；

（2）過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，直線PQ，AC交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得PD =，然后根據(jù)三角形面積公式求得==，由此根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值；

（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時(shí)，構(gòu)造矩形EFCG，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），利用AAS定理證明△MEN≌△CFM，然后結(jié)合拋物線對稱軸求得MF==，NE=，從而列方程求解；作MF⊥y軸，垂足為F，MF交對稱軸于點(diǎn)E；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），則ME= ，CF= ，然后列方程求解；當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)M作EF∥x軸，分別交對稱軸與y軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），然后結(jié)合拋物線對稱軸求得ME= =，CF= = ，然后列方程求解；作ME⊥對稱軸，垂足為E，ME交NC，交點(diǎn)為F．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），則ME= ，CF= ，然后列方程求解．

解：（1）交x軸于A（-3，0），交y軸于C（0，-3），

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)C（0，-3），

∴，解得，

∴拋物線解析式為：；

（2）如圖2，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，直線PQ，AC交于點(diǎn)P，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），

∴線段PD的長為：（）-（）=，

∵，，

∴====，

∵，∴當(dāng)時(shí)候，△PAC的面積又最大值，最大值為，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

（3）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時(shí)，構(gòu)造矩形EFCG，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），

∵△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形

∴∠NME+∠CMF=90°，∠FCM+∠CMF=90°

∴∠NME=∠FCM

又∵∠E=∠F=90°，MN=MC

∴△MEN≌△CFM，

∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，

∴MF==，NE=，

∵MF=NE，∴，

解得（舍），，

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

②如圖6，作MF⊥y軸，垂足為F，MF交對稱軸于點(diǎn)E；

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），則ME= ，CF= ，

由①同理可證△MNE≌△CFM，

∵ME=CF，故，

解得：（舍），，

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；

③如圖5，當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)M作EF∥x軸，分別交對稱軸與y軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），

由①同理可證△MEN≌△MFC，拋物線對稱軸為直線x=-1，

則ME= =，CF= = ，

∵ME=CF，∴，解得：（舍），，

故的點(diǎn)M的坐標(biāo) 為；

④如圖4，作ME⊥對稱軸，垂足為E，ME交NC，交點(diǎn)為F．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），則ME= ，CF= ，

由①同理可證△MNE≌△CFM，

∵ME=CF，故，

解得：，（舍），

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；

綜上可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或或（，）或（，）．