【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上,OA=cm,OC=8cm,現(xiàn)有兩動點(diǎn)P、Q分別從O、C同時出發(fā),P在線段OA上沿OA方向以每秒
cm的速度勻速運(yùn)動,Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.
(1)用t的式子表示△OPQ的面積S;
(2)求證:四邊形OPBQ的面積是一個定值,并求出這個定值;
(3)當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時,拋物線y=x 2+bx+c經(jīng)過B、P兩點(diǎn),過線段BP上一動點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于N,當(dāng)線段MN的長取最大值時,求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比.
【答案】(1)S△OPQ=-t2+
t(0<t<8);(2)四邊形OPBQ的面積為一個定值,且等于
;(3)3:29 .
【解析】試題分析:(1)根據(jù)的運(yùn)動速度,可用
表示出
的長,進(jìn)而根據(jù)
的長求出
的表達(dá)式,即可由三角形的面積公式得到
的函數(shù)關(guān)系式;
(2)四邊形的面積,可由矩形
的面積差求得,進(jìn)而可得到所求的定值;
(3)若與
和
相似,那么
必為直角三角形,且
由于
所以這三個相似三角形的對應(yīng)關(guān)系是
根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出
的值,進(jìn)而可確定點(diǎn)P的坐標(biāo),求出拋物線和直線
的解析式;可設(shè)
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
,根據(jù)直線
和拋物線的解析式,求出
的縱坐標(biāo),進(jìn)而可得到關(guān)于
的長與
的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出
的最大值及對應(yīng)的
點(diǎn)坐標(biāo);設(shè)
與直線
的交點(diǎn)為
,根據(jù)
點(diǎn)的坐標(biāo)和直線
的解析式即可求出
點(diǎn)的坐標(biāo),也就能得到
的長,以
為底,
橫坐標(biāo)差的絕對值為高,可求出
的面積,進(jìn)而可根據(jù)四邊形
的面積求出五邊形
的面積,由此可求出它們的比例關(guān)系式.
試題解析:(1)
∴S△OPQ= (8-t)·
t=-
t2+
t(0<t<8).
(2)∵S四邊形OPBQ=S矩形ABCD-S△PAB-S△CBQ.
=8×-
×
t-
×8×(
-
t)=
.
∴四邊形OPBQ的面積為一個定值,且等于.
(3)當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時,△QPB必須是一個直角三角形,依題意只能是∠QPB=90°.
又∵BQ與AO不平行,∴∠QPO不可能等于∠PQB,∠APB不可能等于∠PBQ.
∴根據(jù)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP.
∴=
,即
=
,解得:t=4.
經(jīng)檢驗:t=4是方程的解且符合題意(從邊長關(guān)系和速度考慮)此時P(,0).
∵B(,8)且拋物線y=
x2+bx+c經(jīng)過B、P兩點(diǎn),
∴拋物線是y=x2-
x+8,直線BP是y=
x-8.
設(shè)M(m, m-8),則N(m,
m2-
m+8).
∵M是BP上的動點(diǎn),∴≤m≤
.
∵y1=x2-
x+8=
( x-
)2.
∴拋物線的頂點(diǎn)是P(,0).
又y1=x2-
x+8與y2=
x-8交于P、B兩點(diǎn),
∴當(dāng)≤m≤
時,y2>y1.
∴|MN |=|y2-y1|=y2-y1=(m-8)-(
m2-
m+8).
=-m2+
m-16=-
(m-
)2+2.
∴當(dāng)m=時,MN有最大值是2,此時M(
,4).
設(shè)MN與BQ交于H點(diǎn),則H(,7).
∴S△BHM=×3×
=
.
∴S△BHM:S五邊形QOPMH =:(
-
)=3:29.
∴當(dāng)線段MN的長取最大值時,直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比為3:29 .
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【題目】已知點(diǎn)A(-2,n)在拋物線y=x2+bx+c上.
(1)若b=1,c=3,求n的值;
(2)若此拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(4,n),且二次函數(shù)y=x2+bx+c的最小值是-4,請畫出點(diǎn)P(x-1,x2+bx+c)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的圖象,并說明理由.
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【題目】如圖,四邊形和
都是正方形,點(diǎn)
在
邊上,點(diǎn)
在對角線
上,若
,則
的面積是( )
A.6B.8C.9D.12
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑均為1個單位長度的半圓、
、
,組成一條平滑的曲線,點(diǎn)
從原點(diǎn)
出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動,速度為每秒
個單位長度,則第2019秒時,點(diǎn)
的坐標(biāo)是____.
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(1)求證:△ABC為等邊三角形;
(2)求DE的長;
(3)在線段AB的延長線上是否存在一點(diǎn)P,使△PBD≌△AED?若存在,請求出PB的長;若不存在,請說明理由.
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C. b2-4ac≥0 D. 將該函數(shù)圖象向左平移2個單位后所得到拋物線的解析式為y=ax2+c
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【題目】如圖1,已知直線,點(diǎn)
,
在直線
上,點(diǎn)
,
在直線
上,且AB//CD,若
保持不動,線段
先向右勻速平行移動,中間停止一段時間后再向左勻速平行移動.圖2反映了
的長度
隨時間
的變化而變化的情況,則
(1)在線段開始平移之前,
_______
;
(2)線段邊向右平移了_______
,向右平移的速度是______
;
(3)圖3反映了變化過程中的面積
隨時間
變化的情況.
①平行線,
之間的距離為_______
;
②當(dāng)時,面積S的值為_____
;
③當(dāng)時,直接寫出
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式______(可以不化簡).
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(1)求購買一塊A型小黑板、一塊B型小黑板各需要多少元.
(2)根據(jù)義潔中學(xué)實(shí)際情況,需從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板共60塊,要求購買A、B兩種型號小黑板的總費(fèi)用不超過5240元.并且購買A型小黑板的數(shù)量應(yīng)大于購買A、B種型號小黑板總數(shù)量的.請你通過計算,求出義潔中學(xué)從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板有哪幾種方案.
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