Question

某電器經(jīng)營(yíng)業(yè)主計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批同種型號(hào)的掛式空調(diào)和電風(fēng)扇，若購(gòu)進(jìn)8臺(tái)空調(diào)和20臺(tái)電風(fēng)扇，需要資金17400元，若購(gòu)進(jìn)10臺(tái)空調(diào)和30臺(tái)電風(fēng)扇，需要資金22500元．
（1）求掛式空調(diào)和電風(fēng)扇每臺(tái)的采購(gòu)價(jià)各是多少元？
（2）該經(jīng)營(yíng)業(yè)主計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種電器共70臺(tái)，而可用于購(gòu)買(mǎi)這兩種電器的資金不超過(guò)30000元，根據(jù)市場(chǎng)行情，銷(xiāo)售一臺(tái)這樣的空調(diào)可獲利200元，銷(xiāo)售一臺(tái)這樣的電風(fēng)扇可獲利30元．該業(yè)主希望當(dāng)這兩種電器銷(xiāo)售完時(shí)，所獲得的利潤(rùn)不少于3500元．
①試問(wèn)該經(jīng)營(yíng)業(yè)主有哪幾種進(jìn)貨方案？
②設(shè)該業(yè)主計(jì)劃購(gòu)進(jìn)空調(diào)t臺(tái)，這兩種電器銷(xiāo)售完后，所獲得的利潤(rùn)為W元、求W關(guān)于t的函數(shù)解析式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明哪種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)掛式空調(diào)和電風(fēng)扇每臺(tái)的采購(gòu)價(jià)格分別為x元和y元，根據(jù)購(gòu)進(jìn)8臺(tái)空調(diào)和20臺(tái)電風(fēng)扇，需要資金17400元，若購(gòu)進(jìn)10臺(tái)空調(diào)和30臺(tái)電風(fēng)扇，需要資金22500元可以列出方程組

8x+20y=17400 10x+30y=22500

，解方程組即可求出結(jié)果；
（2）①設(shè)該業(yè)主計(jì)劃購(gòu)進(jìn)空調(diào)t臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)電風(fēng)扇（70-t）臺(tái)，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)這兩種電器的資金不超過(guò)30000元，根據(jù)市場(chǎng)行情，銷(xiāo)售一臺(tái)這樣的空調(diào)可獲利200元，銷(xiāo)售一臺(tái)這樣的電風(fēng)扇可獲利30元．該業(yè)主希望當(dāng)這兩種電器銷(xiāo)售完時(shí)，所獲得的利潤(rùn)不少于3500元可以列出不等式組

1800t+150(70-t)≤30000 200t+30(70-t)≥3500

，解不等式組即可求出哪幾種進(jìn)貨方案．
②設(shè)這兩種電器銷(xiāo)售完后，所獲得的利潤(rùn)為W，則根據(jù)已知條件可以列出W與t的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)和①的結(jié)果即可求出哪種方案獲利最大，最大利潤(rùn)是多少．

解答：解：（1）設(shè)掛式空調(diào)和電風(fēng)扇每臺(tái)的采購(gòu)價(jià)格分別為x元和y元
依題意，得

8x+20y=17400 10x+30y=22500

解得

x=1800 y=150

即掛式空調(diào)和電風(fēng)扇每臺(tái)的采購(gòu)價(jià)分別為1800元和150元；

（2）①設(shè)該業(yè)主計(jì)劃購(gòu)進(jìn)空調(diào)t臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)電風(fēng)扇（70-t）臺(tái)，
依題意得

1800t+150(70-t)≤30000 200t+30(70-t)≥3500

，
解得：8

4

17

≤t≤11

9

11

，
∵t為整數(shù)，
∴t為9，10，11，
故有三種進(jìn)貨方案，分別是：
方案一：購(gòu)進(jìn)空調(diào)9臺(tái)，電風(fēng)扇61臺(tái)；
方案二：購(gòu)進(jìn)空調(diào)10臺(tái)，電風(fēng)扇60臺(tái)；
方案三：購(gòu)進(jìn)空調(diào)11臺(tái)，電風(fēng)扇59臺(tái)．
②設(shè)這兩種電器銷(xiāo)售完后，所獲得的利潤(rùn)為W，
則W=200t+30（70-t）=170t+2100，
由于W隨t的增大而增大．
故當(dāng)t=11時(shí)，W有最大值，W_最大=170×11+2100=3970，
即選擇第3種進(jìn)貨方案獲利最大，最大利潤(rùn)為3970元．

點(diǎn)評(píng)：此題分別考查了二元一次方程組、不等式組、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，能力要求比較高，平時(shí)要求學(xué)生多注意這些煩惱的訓(xùn)練．