Question

將正六邊形紙片按下列要求分割（每次分割，紙片均不得有剩余）：
第一次分割：將正六邊形紙片分割成三個(gè)全等的菱形，然后選取其中的一個(gè)菱形在分割成一個(gè)正六邊形和兩個(gè)全等的正三角形；
第二次分割：將第一次分割后所得的正六邊形紙片分割成三個(gè)全等的菱形，然后選取其中的一個(gè)菱形在分割成一個(gè)正六邊形和兩個(gè)全等的正三角形；
按上述分割方法進(jìn)行下去…
（1）請(qǐng)你在下圖中畫(huà)出第一次分割的示意圖；
（2）若原正六邊形的面積為a，請(qǐng)你通過(guò)操作和觀察，將第1次，第2次，第3次分割后所得的正六邊形的面積填入下表：

分割次數(shù)（n）	1	2	3	…
正六邊形的面積S

（3）觀察所填表格，并結(jié)合操作，請(qǐng)你猜想：分割后所得的正六邊形的面積S與分割次數(shù)n有何關(guān)系？（S用含a和n的代數(shù)式表示，不需要寫(xiě)出推理過(guò)程）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正六邊形的每一個(gè)角是60°和各邊都相等，可以作兩個(gè)內(nèi)角的角平分線，構(gòu)造三個(gè)菱形；再進(jìn)一步找到其中一個(gè)菱形的各邊中點(diǎn)，進(jìn)行分割成正六邊形和兩個(gè)全等的三角形；
（2）根據(jù)正六邊形的面積比是邊長(zhǎng)的比的平方，發(fā)現(xiàn)每一次分割得到的正六邊形的邊長(zhǎng)都是上一次正六邊形的邊長(zhǎng)的

1

2

，則面積是上一次的正六邊形的面積的

1

4

．根據(jù)這一規(guī)律完成表格；
（3）根據(jù)上述規(guī)律即可得到分割n次時(shí)，則S=

a

4n

．

解答：（1）如圖：
；

（2）

分割次數(shù)（n）	1	2	3	…
正六邊形的面積S	a 4	a 16	a 64	…

；

（3）S=

a

4n

．

點(diǎn)評(píng)：此題要熟練運(yùn)用正多邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析．