Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AB=3，點(diǎn)O在AB的延長線上，OA=6，且∠AOE=30°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿射線OE方向運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，OP為半徑作⊙P，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿折線B…C…A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，Q與A重合時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)△POB是直角三角形時(shí)，求t的值；

（2）當(dāng)⊙P過點(diǎn)C時(shí)，求⊙P與線段OA圍成的封閉圖形的面積；

（3）當(dāng)⊙P與△ABC的邊所在直線相切時(shí)，求t的值；

（4）當(dāng)線段OQ與⊙P只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t=或t=2時(shí)△POB是直角三角形；（2）或；（3）當(dāng)t=1或t=時(shí)⊙P與△ABC的邊所在直線相切；（4）＜t≤6時(shí)，線段OQ與⊙P只有一個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】

（1）首先證明O、C、E共線，分兩種情形分別討論求解即可解決問題；

（2）分兩種情形求解即可．

（3））⊙P不可能與AB所在直線相切當(dāng)⊙P與AC所在直線相切時(shí)，如圖4中，求出OP的長即可解決問題，當(dāng)⊙P與BC的邊所在直線相切時(shí)，如圖5中，求出OP即可；

（4）如圖6中，當(dāng)⊙P經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，求出t的值，即可解決問題；

（1）如圖1中，連接OC．

∵∠ABC=60°，OB=BC

∴∠AOC=∠BCO=30°，

∴OE經(jīng)過點(diǎn)C，∠ACO=90°

如圖當(dāng)∠BPO=90°時(shí)，OP=OBcos30=，

∴t=．

如圖2中，當(dāng)∠PBO=90°時(shí)，

OP==2，

∴t=2，

∴當(dāng)t=或t=2時(shí)△POB是直角三角形．

（2）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)時(shí)⊙P過點(diǎn)C，設(shè)⊙P交OA于點(diǎn)F，作PH⊥OA于H．

∵PO=PF

∴∠O=∠PFO=30°，

∴∠OPF=120°

又∵PO═，

∴PH=OP=，

∴S弓形OmF=S扇形POF﹣S△OPF=π﹣或S弓形OnF=π+．

（3）⊙P不可能與AB所在直線相切

當(dāng)⊙P與AC所在直線相切時(shí)，如圖4中，

∵∠ACO=90°

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)時(shí)⊙P與AC邊所在直線相切，此時(shí)t=

當(dāng)⊙P與BC的邊所在直線相切時(shí)，如圖5中，此時(shí)PB=OP=，t=1，

∴當(dāng)t=1或t=時(shí)⊙P與△ABC的邊所在直線相切．

（4）如圖6中，當(dāng)⊙P經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，

∵BC：BQ=CO：OP=，

∴PQ∥OB，

∴，

∴，

解得t=，

觀察圖象可知：當(dāng)＜t≤6時(shí)，線段OQ與⊙P只有一個(gè)公共點(diǎn)．