如圖，拋物線y=a（x﹣h）2+k經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），且頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，2），它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上求點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）上述點(diǎn)是否是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)求出第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

【答案】

解：（1）∵拋物線y=a（x﹣h）2+k頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，2），

∴y=a（x﹣1）2+2。

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），∴a（0﹣1）2+2=1，解得a=﹣1。

∴此拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+2，即y=﹣x2+2x+1。

 （2）∵A（0，1），C（1，0），∴OA=OC。

∴△OAC是等腰直角三角形。

過點(diǎn)O作AC的垂線l，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)知：l是AC的中垂線，

∴l(xiāng)與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P。

如圖，直線l的解析式為y=x，

解方程組，

得或（不合題意舍去）。

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。

   （3）點(diǎn)P不是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)．

由（1）知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

則，解得。

∴直線AC的解析式為y=﹣x+1．

設(shè)與AC平行的直線的解析式為y=﹣x+m．

解方程組，代入消元，得﹣x2+2x+1=﹣x+m，即x2﹣3x+m﹣1=0。

∵此點(diǎn)與AC距離最遠(yuǎn)，∴直線y=﹣x+m與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。

∴方程x2﹣3x+m﹣1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m=。

∴x2﹣3x+﹣1=0，解得x1=x2=，此時(shí)y=。

∴第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）。

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是B（1，2）知：h=1，k=2，則y=a（x﹣1）2+2，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入此解析式即可。

（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分線是直線y=x，根據(jù)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”知直線y=x與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，解方程組即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）先求出第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再與P點(diǎn)的坐標(biāo)比較進(jìn)行判斷．滿足條件的點(diǎn)一定是與直線AC平行且與拋物線有唯一交點(diǎn)的直線與拋物線相交產(chǎn)生的，易求出直線AC的解析式，設(shè)出與AC平行的直線的解析式，令它與拋物線的解析式組成的方程組有唯一解，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，通過判斷它與點(diǎn)P是否重合來判斷點(diǎn)P是否是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

26、已知：如圖，拋物線C1，C2關(guān)于x軸對(duì)稱；拋物線C1，C3關(guān)于y軸對(duì)稱．拋物線C1，C2，C3與x軸相交于A、B、C、D四點(diǎn)；與y相交于E、F兩點(diǎn)；H、G、M分別為拋物線C1，C2，C3的頂點(diǎn)．HN垂直于x軸，垂足為N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|(zhì)HG|
（1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9個(gè)點(diǎn)中，四個(gè)點(diǎn)可以連接成一個(gè)四邊形，請(qǐng)你用字母寫出下列特殊四邊形：菱形
AHBG
；等腰梯形
HGEF
；平行四邊形
EGFM
；梯形
DMHC
；（每種特殊四邊形只能寫一個(gè)，寫錯(cuò)、多寫記0分）
（2）證明其中任意一個(gè)特殊四邊形；
（3）寫出你證明的特殊四邊形的性質(zhì)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點(diǎn)，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設(shè)P為直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點(diǎn)F．問：在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使得以P，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線x=1交x軸于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過B、M兩點(diǎn)的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A，并且與直線BM相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3）精英家教網(wǎng)．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=-x+m過點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長(zhǎng)度的最大值；
（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸兩交點(diǎn)是A（-1，0），B（3，0），則如圖可知y＜0時(shí)，x的取值范圍是（　　）
A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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