Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上的動點(diǎn)，連接BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)M，連接QP（如圖）．已知AD=13，AB=5，設(shè)AP=x，BQ=y．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（2）當(dāng)以AP長為半徑的⊙P和以QC長為半徑的⊙Q外切時，求x的值；

（3）點(diǎn)E在邊CD上，過點(diǎn)E作直線QP的垂線，垂足為F，如果EF=EC=4，求x的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）根據(jù)題意，得AP=x，BQ=y，AB=5，，

∵QM是線段BP的垂直平分線，∴。

易得△ABP∽△MQB，∴，即。

化簡，得。

∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，x的取值范圍為。

（2）根據(jù)題意，⊙P和⊙Q的圓心距PQ=BQ= y，⊙P的半徑為，⊙Q的半徑為，

若⊙P和⊙Q外切，則，即。

代入，得

解得 。

∴當(dāng)以AP長為半徑的⊙P和以QC長為半徑的⊙Q外切時，。

（3）∵EF=EC=4，且EF⊥PQ，EC⊥BC，

∴PQ和BC是以點(diǎn)E 為圓心，4為半徑圓的兩條切線。

連接EQ，

易得，△ABP∽△CEQ，∴。

∵AB=5，AP=x，CE=4，CQ=，

∴ ，即。

代入，得

整理，得，解得。

∴滿足條件的x值為：或。

【解析】

試題分析：（1）由△ABP∽△MQB列比例式即可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式。

當(dāng)y=13時，，解得，此為x的最小值；最大值為13。因此，x的取值范圍為。

（2）若⊙P和⊙Q外切，圓心距等于兩半徑之和，據(jù)此列式化簡代入（1）的函數(shù)關(guān)系式求解。

（3）根據(jù)題意，PQ和BC是以點(diǎn)E 為圓心，4為半徑圓的兩條切線，從而可得△ABP∽△CEQ，據(jù)此列比例式簡代入（1）的函數(shù)關(guān)系式求解。