Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于、，交軸于點(diǎn)．

（1）拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為________；

（2）如圖2，連接、．將沿軸方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移得到，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．當(dāng)時(shí)，求與重疊面積與的函數(shù)解析式，并求出的最大值；

（3）如圖3中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，邊與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可得二次函數(shù)的解析式為，然后將其化為頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)t的取值范圍分類討論，然后利用的面積減去其余各三角形的面積即可分別求出與的函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；

（3）如圖，設(shè)為，點(diǎn)M為（1，m），過(guò)點(diǎn)A′作A′P⊥y軸于P,過(guò)點(diǎn)C′Q⊥y軸于Q，易證△A′PO∽△OQC′，列出比例式即可求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等角對(duì)等邊可證為的中點(diǎn)，利用勾股定理求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)a和b，從而求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)．

（1）解：由已知拋物線與軸交于、，

∴二次函數(shù)的解析式為

∴，

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-3

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）

①如圖，當(dāng)時(shí)，

，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值；

②如圖，當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值；

∵，當(dāng)時(shí)，有最大值．

（3）解：如圖，設(shè)為，點(diǎn)M為（1，m），過(guò)點(diǎn)A′作A′P⊥y軸于P,過(guò)點(diǎn)C′Q⊥y軸于Q，易證△A′PO∽△OQC′

∴

可得．

旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若存在一點(diǎn)使得，則為的中點(diǎn)，

∵，

∴．

∴

解得：m=

∴或

∴或

解得：或

∴或．