Question

（2012•張家港市模擬）如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，CF=1，點(diǎn)M、N分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形MEFN周長(zhǎng)的最小值為

5+

5

．

Answer 1

分析：由于四邊形MEFN中，EF的長(zhǎng)度為定值，欲求四邊形MEFN周長(zhǎng)的最小值，即求其它三邊之和的最小值，為此，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則線段E′F′的長(zhǎng)度就是其它三邊之和的最小值．

解答：解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．
∵矩形OABC中，OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，CF=1，
∴E′（3，-1），F(xiàn)′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′，
∴BF′=4，BE′=3，
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=

BE′2+BF′2

=5，
又∵EF=

BE2+BF2

=

12+22

=

5

，
∴FN+MN+ME+EF=5+

5

．
此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)的最小值是5+

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，難度中等，求線段的和最小的問(wèn)題基本的解題思路是根據(jù)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題．