Question

（2012•張家港市模擬）如圖，以矩形OABC的頂點O為坐標原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，點F在BC上，CF=1，點M、N分別是x軸、y軸上的動點，則四邊形MEFN周長的最小值為

5+

5

．

Answer 1

分析：由于四邊形MEFN中，EF的長度為定值，欲求四邊形MEFN周長的最小值，即求其它三邊之和的最小值，為此，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則線段E′F′的長度就是其它三邊之和的最小值．

解答：解：如圖，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．
∵矩形OABC中，OA=3，OC=2，點E是AB的中點，點F在BC上，CF=1，
∴E′（3，-1），F(xiàn)′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′，
∴BF′=4，BE′=3，
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=

BE′2+BF′2

=5，
又∵EF=

BE2+BF2

=

12+22

=

5

，
∴FN+MN+ME+EF=5+

5

．
此時四邊形MNFE的周長的最小值是5+

5

．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，矩形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，難度中等，求線段的和最小的問題基本的解題思路是根據(jù)軸對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離的問題．