【題目】已知:如圖①,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上,且BD=BE,連接DE.
(1)求證:DE∥AC;
(2)將圖①中的△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)A、D、E在同一條直線上,如圖②,求∠AEC的度數(shù);
(3)在(2)的條件下,如圖③,連接CD,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BE于點(diǎn)M,在線段BM上取點(diǎn)N,使得∠DNE+∠DCE=180°.請(qǐng)?zhí)剿魅龡l線段EN,MN,EC之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)60°;(3)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由△ABC是等邊三角形得∠B=60°,再由BD=BE,得△BDE是等邊三角形,所以∠BED=∠C=60°,可得DE∥AC;
(2)由旋轉(zhuǎn),易證△BAD≌△BCE,所以∠BEC=∠BDA=180°-∠BDE=120°,所以∠AEC=∠BEC-∠BED=60°.
(3)在四邊形CDNE中, 由(2)中∠NEC=120°易得∠NDC=60°,然后利用角邊角證明△BDN≌△EDC,得出BN=EC,然后在BE邊上利用線段關(guān)系可推出關(guān)系式.
證明:(1)∵△ABC為等邊三角形,∴∠B=∠C=60°,
又∵BD=BE,∴△BDE為等邊三角形,∴∠BEC=60°,
∴∠BEC=∠C,∴DE∥AC.
(2)∵∠ABD+∠DBC=60°,∠CBE+∠DBC=60°
∴∠ABD=∠CBE
在△ABD和△CBE中,
∴△ABD≌△CBE(SAS)
∴∠BEC=∠BDA,
又∵A、D、E在一條直線,
∴∠BDA+∠BDE=180°,
又∵∠BDE=60°,∴∠BDA=∠BEC=120°,
∴∠AEC=∠BEC-∠BED=120°-60°=60°
(3)在四邊形CDNE中,∵∠DNE+∠DCE=180°
∴∠NDC+∠NEC=180°,
由(2)可知∠NEC=120°,∴∠NDC=60°
∴∠CDE+∠NDE=60°,
∵∠BDN+∠NDE=60°,
∴∠BDN=∠CDE
在△BDN和△EDC中,
∴△BDN≌△EDC(ASA)
∴BN=EC
在等邊△BDE中,DM⊥BE,
∴BM=ME
∴EN=MN+ME=MN+BM=MN+BN+MN=2MN+EC
故EN,MN,EC之間的關(guān)系的關(guān)系是EN=2MN+EC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,延長(zhǎng)AC至E,使CE=AC.
(1)求證:DE=DB;
(2)連接BE,試判斷△ABE的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊 中, , , ,點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)沿 方向運(yùn)動(dòng),連接 ,以 為邊,在 右側(cè)按如圖方式作等邊 ,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)D,E.
(1)求證:AE=2CE;
(2)連接CD,請(qǐng)判斷△BCD的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠MAN是一鋼架,為了使鋼架更加堅(jiān)固,需要在其內(nèi)部添加一些鋼管BC,CD,DE……,添加的鋼管長(zhǎng)度都與AB相等,若只能添加這樣的鋼管4根,則∠MAN的范圍____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)道路交通安全法第四十七條規(guī)定“機(jī)動(dòng)車(chē)行經(jīng)人行橫道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速行駛;遇行人通過(guò)人行橫道,應(yīng)當(dāng)停車(chē)讓行” 如圖:一輛汽車(chē)在一個(gè)十字路口遇到行人時(shí)剎車(chē)停下,汽車(chē)?yán)锏鸟{駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是和,如果斑馬線的寬度是米,駕駛員與車(chē)頭的距離是米,這時(shí)汽車(chē)車(chē)頭與斑馬線的距離x是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,一次函數(shù)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),∠OAB=45°.
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn),以P為直角頂點(diǎn),BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰Rt△BPC,連接CA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)Q.
①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0),求點(diǎn)C的坐標(biāo),并求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式;
②當(dāng)P點(diǎn)在x軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)的位置是否發(fā)現(xiàn)變化?若不變,請(qǐng)求出它的坐標(biāo);如果變化,請(qǐng)求出它的變化范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AB⊥BD,sinA=,將ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中,且AD⊥x軸,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,恰有一條雙曲線y=(k>0)同時(shí)經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn),∠AOB=30°,OP=8,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn),則△PMN周長(zhǎng)的最小值為( )
A. 5B. 6C. 8D. 10
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