Question

如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(O，1)，矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點(diǎn)B(0，2)，且其面積為8．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)如圖2，若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn)，連結(jié)PB并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P、Q分別作軸的垂線，垂足分別為S、R．

①求證：PB＝PS；

②判斷△SBR的形狀；

③試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

圖1                                    圖2

Answer 1

⑴解：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0．2)，

∴OB＝2，

∵矩形CDEF面積為8，

∴CF=4.

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，2)．F點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)。

設(shè)拋物線的解析式為．

其過三點(diǎn)A(0，1)，C(-2．2)，F(xiàn)(2，2)。

c

得

解這個(gè)方程組，得

∴此拋物線的解析式為    ………… (3分)

(2)解：

①過點(diǎn)B作BN，垂足為N．

  ∵P點(diǎn)在拋物線y=十l上．可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為．

  ∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。

∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)

  在Rt△PNB中．

  PB²＝

∴PB＝PS＝………………………… (6分)

②根據(jù)①同理可知BQ＝QR。

∴，

又∵ ，

∴，

同理SBP＝………………………… (7分)

∴

∴

∴.

∴ △SBR為直角三角形．………………………… (8分)

 

 ③ 若以P、S、M為頂點(diǎn)的三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)的三角形相似，

∵，

∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM兩種情況。

   當(dāng)PSM∽MRQ時(shí)．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

   由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知PMS+QMR＝。

∴�！�……………………… (9分)

  取PQ中點(diǎn)為N．連結(jié)MN．則MN＝PQ=．…………………… (10分)

∴MN為直角梯形SRQP的中位線,

∴點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)  …………………… (11分)

當(dāng)△PSM∽△QRM時(shí)，

又，即M點(diǎn)與O點(diǎn)重合。

∴點(diǎn)M為原點(diǎn)O。

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)，PSM∽△MRQ；

當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，PSM∽△QRM     …………(12分)