如圖1,已知拋物線的頂點為A(O,1),矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上,D、E在軸上,CF交y軸于點B(0,2),且其面積為8.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若P點為拋物線上不同于A的一點,連結PB并延長交拋物線于點Q,過點P、Q分別作軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②判斷△SBR的形狀;
③試探索在線段SR上是否存在點M,使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似,若存在,請找出M點的位置;若不存在,請說明理由.
圖1 圖2
⑴解:∵B點坐標為(0.2),
∴OB=2,
∵矩形CDEF面積為8,
∴CF=4.
∴C點坐標為(一2,2).F點坐標為(2,2)。
設拋物線的解析式為.
其過三點A(0,1),C(-2.2),F(xiàn)(2,2)。
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解這個方程組,得
∴此拋物線的解析式為 ………… (3分)
(2)解:
①過點B作BN,垂足為N.
∵P點在拋物線y=十l上.可設P點坐標為.
∴PS=,OB=NS=2,BN=。
∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)
在Rt△PNB中.
PB2=
∴PB=PS=………………………… (6分)
②根據(jù)①同理可知BQ=QR。
∴,
又∵ ,
∴,
同理SBP=………………………… (7分)
∴
∴
∴.
∴ △SBR為直角三角形.………………………… (8分)
③ 若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點的三角形相似,
∵,
∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM兩種情況。
當PSM∽MRQ時.SPM=RMQ,SMP=RQM.
由直角三角形兩銳角互余性質.知PMS+QMR=。
∴! (9分)
取PQ中點為N.連結MN.則MN=PQ=.…………………… (10分)
∴MN為直角梯形SRQP的中位線,
∴點M為SR的中點 …………………… (11分)
當△PSM∽△QRM時,
又,即M點與O點重合。
∴點M為原點O。
綜上所述,當點M為SR的中點時,PSM∽△MRQ;
當點M為原點時,PSM∽△QRM …………(12分)
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