Question

設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0，c＞1），當(dāng)x=c時(shí)，y=0；當(dāng)0＜x＜c時(shí)，y＞0．
（1）請(qǐng)比較ac和1的大小，并說明理由；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

＞0．

Answer 1

分析：（1）由條件x=c時(shí)，y=0，代入可得ac+b+1=0，即b=-ac-1，根據(jù)0＜x＜c時(shí)，y＞0，而拋物線開口向上，可知對(duì)稱軸x=-

b

2a

≥c，將b代入解不等式即可；
（2）將所證不等式左邊通分，再根據(jù)題目的條件，證明每一個(gè)部分大于0即可．

解答：（1）解：當(dāng)x=c時(shí)，y=0，即ac²+bc+c=0，c（ac+b+1）=0，
又c＞1，所以ac+b+1=0
又因?yàn)楫?dāng)0＜x＜c時(shí)，y＞0，x=c時(shí)，y=0，
于是二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸：x=-

b

2a

≥c即b≤-2ac
所以b=-ac-1≤-2ac即ac≤1；
（2）證明：因?yàn)?＜x=1＜c時(shí)，y＞0，所以a+b+c＞0
由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1
因?yàn)?span id="zzt9drh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

=

(a+b+c)x2+(a+2b+3c)x+2c

x(x+1)(x+2)

=

(a+b+c)x2+(a-2ac-2+3c)x+2c

x(x+1)(x+2)

而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a-2ac-2+3c=（1-a）（2c-1）+（c-1）＞0
所以當(dāng)x＞0時(shí)，

(a+b+c)x2+(a-2ac+3c-2)x+2c

x(x+1)(x+2)

＞0，
即

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，圖象上的點(diǎn)與解析式的關(guān)系，對(duì)稱軸公式的運(yùn)用，證明不等式的問題，具有一定的綜合性．