Question

（2010•高淳縣一模）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AF平分∠BAC，交BD于點F．
（1）求證：DF=AD；
（2）過點F作FH⊥AB，垂足為點H，求證：FH+AC=AD；
（3）如圖2，將∠ADC繞頂點D旋轉一定的角度后，DC邊所在的直線與BC邊交于點C₁（不與點B重合），DA邊所在的直線與BA邊的延長線交于點A₁． A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于點F₁，過點F₁作F₁H₁⊥AB，垂足為H₁，試猜想F₁H₁、A₁C₁與AD三者之間的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的對角線平分每一組對角∠DAC=∠ABD=45°，再根據角平分線的定義∠CAF=∠BAF，所以∠DAF=∠DFA，根據等角對等邊的性質，DF=AD；
（2）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等FH=FO，又OD=BD=AC，所以FH+AC=DF=AD；
（3）同（1）利用三角形全等證出A₁D=DF₁，根據等腰直角三角形A₁DC₁的直角邊與斜邊的關系，從而得出A₁C₁=DF₁，又等腰直角三角形F₁H₁B中，F₁H₁=F₁B，兩式相加即可得到F₁H₁+A₁C₁=DB，而AD=BD，所以三者存在F₁H₁+A₁C₁=AD．
解答：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠DAC=∠ABD=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAF，
而∠DAF=∠DAC+∠FAC，∠DFA=∠ABD+∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD；

（2）證明：∵正方形ABCD，
∴FO⊥AC，AC=OD，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，
∴FH=FO，
∴FH+AC=FO+OD=DF=AD，
即FH+AC=AD．

（3）猜想：F₁H₁+A₁C₁=AD．
理由：∵AD=CD，∠ADC=∠A₁DC₁，
∴∠A₁DA=∠C₁DC，
∴△A₁AD≌△C₁CD，
∴△A₁C₁D是等腰直角三角形，
∵A₁F₁平分∠BA₁C₁，
∴∠BA₁F₁=∠F₁A₁C₁
而∠DA₁F₁=45°+∠F₁A₁C₁，∠DF₁A₁=45°+∠BA₁F₁，
∴∠DA₁F₁=∠DF₁A₁，
∴A₁D=DF₁，
∴A₁C₁=A₁D=DF₁，
又∵在等腰直角三角形F₁H₁B中，F₁H₁=F₁B，
∴F₁H₁+A₁C₁=F₁B+DF₁=DB=AD．
即F₁H₁+A₁C₁=AD．
點評：本題主要利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，等角對等邊的性質，等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍的性質，綜合性較強．