Question

【題目】已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0），B（x2，0）（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），其對(duì)稱軸是x=3，該函數(shù)有最小值是﹣2．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）在圖1上作平行于x軸的直線，交拋物線于C（x3，y3），D（x4，y4），求x3+x4的值；

（3）將（1）中函數(shù)的部分圖象（x＞x2）向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”，如圖2，在（2）中平行于x軸的直線取點(diǎn)E（x5，y5）、（x4＜x5），結(jié)合函數(shù)圖象求x3+x4+x5的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) y=（x﹣3）2﹣2．（2）x3+x4=6．（3）11＜x3+x4+x5＜9+2．

【解析】

（1）利用二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式求得結(jié)果即可；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性質(zhì)解答；

（3）由已知條件可知直線與圖象“G”要有3個(gè)交點(diǎn)．

分類討論：分別求得平行于x軸的直線與圖象“G”有2個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)時(shí)x3+x4+x5的取值范圍，易得直線與圖象“G”要有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)x3+x4+x5的取值范圍．

（1）由上述信息可知該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，﹣2），設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x﹣3）2﹣2．

∵該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），∴0=a（x﹣3）2﹣2，解得：a=，∴二次函數(shù)解析式為：y=（x﹣3）2﹣2．

（2）由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性質(zhì)得出當(dāng)縱坐標(biāo)相等時(shí)，x3+x4=6．

（3）由已知條件可知直線與圖象“G”要有3個(gè)交點(diǎn)．

①當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，由二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性質(zhì)可求x3+x4+x5＞11．

②當(dāng)直線經(jīng)過(guò)y=（x﹣3）2﹣2的圖象頂點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，由翻折可以得到翻折后函數(shù)圖象為y=﹣（x﹣3）2+2．

令﹣（x﹣3）2+2=﹣2時(shí)，解得：x=3±2，其中x=3﹣2（舍去），∴x3+x4+x5＜9+2．

綜上所述：11＜x3+x4+x5＜9+2．