Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（4，0），B兩點，與y軸交于點C（0，2），對稱軸x＝1，與x軸交于點H．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）直線y＝kx+1（k≠0）與y軸交于點E，與拋物線交于點 P，Q（點P在y軸左側(cè)，點Q在y軸右側(cè)），連接CP，CQ，若△CPQ的面積為，求點P，Q的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，連接AC交PQ于G，在對稱軸上是否存在一點K，連接GK，將線段GK繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點K恰好落在拋物線上，若存在，請直接寫出點K的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）點P、Q的坐標(biāo)分別為：（，）、（，﹣）；（3）存在，點K（1，）．

【解析】

（1）根據(jù)對稱軸x＝1，求出點B的坐標(biāo)，再將點B代入拋物線表達(dá)式中求出a的值，即可求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)直線PQ交y軸于點E（0，1），點P、Q橫坐標(biāo)分別為m，n，聯(lián)立拋物線與直線PQ的表達(dá)式可得方程，求解方程即可得出點P，Q的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點K（1，m），聯(lián)立PQ和AC的表達(dá)式，即可求出G點的坐標(biāo)，過點G作x軸的平行線交函數(shù)對稱軸于點M，交過點R與y軸的平行線于點N，通過△KMG≌△GNR可得R（m﹣1，），將R點代入拋物線解析式即可求出m的值，求得K的坐標(biāo)．

（1）對稱軸x＝1，則點B（﹣2，0），

則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

即﹣8a＝2，

解得：a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝；

（2）設(shè)直線PQ交y軸于點E（0，1），點P、Q橫坐標(biāo)分別為m，n，

△CPQ的面積＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，

聯(lián)立拋物線與直線PQ的表達(dá)式并整理得：…①，

m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，

n﹣m＝2＝＝，

解得：k＝0（舍去）或1；

將k＝1代入①式并解得：x＝，

故點P、Q的坐標(biāo)分別為：（，）、（，﹣）

（3）設(shè)點K（1，m），

聯(lián)立PQ和AC的表達(dá)式并解得：x＝，故點G（，）

過點G作x軸的平行線交函數(shù)對稱軸于點M，交過點R與y軸的平行線于點N，

則△KMG≌△GNR（AAS），

GM＝1-＝＝NR，MK＝，

故點R的縱坐標(biāo)為：，則點R（m﹣1，）

將該坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式解得：x＝，

故m＝，

故點K（1，）．