【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(4,0),B兩點,與y軸交于點C(0,2),對稱軸x=1,與x軸交于點H.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)直線y=kx+1(k≠0)與y軸交于點E,與拋物線交于點 P,Q(點P在y軸左側(cè),點Q在y軸右側(cè)),連接CP,CQ,若△CPQ的面積為,求點P,Q的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連接AC交PQ于G,在對稱軸上是否存在一點K,連接GK,將線段GK繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90°,使點K恰好落在拋物線上,若存在,請直接寫出點K的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=;(2)點P、Q的坐標(biāo)分別為:(,)、(,﹣);(3)存在,點K(1,).
【解析】
(1)根據(jù)對稱軸x=1,求出點B的坐標(biāo),再將點B代入拋物線表達(dá)式中求出a的值,即可求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)直線PQ交y軸于點E(0,1),點P、Q橫坐標(biāo)分別為m,n,聯(lián)立拋物線與直線PQ的表達(dá)式可得方程,求解方程即可得出點P,Q的坐標(biāo);
(3)設(shè)點K(1,m),聯(lián)立PQ和AC的表達(dá)式,即可求出G點的坐標(biāo),過點G作x軸的平行線交函數(shù)對稱軸于點M,交過點R與y軸的平行線于點N,通過△KMG≌△GNR可得R(m﹣1,),將R點代入拋物線解析式即可求出m的值,求得K的坐標(biāo).
(1)對稱軸x=1,則點B(﹣2,0),
則拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+2)(x﹣4)=a(x2﹣2x﹣8),
即﹣8a=2,
解得:a=,
故拋物線的表達(dá)式為:y=;
(2)設(shè)直線PQ交y軸于點E(0,1),點P、Q橫坐標(biāo)分別為m,n,
△CPQ的面積=×CE×(n﹣m)=,即n﹣m=2,
聯(lián)立拋物線與直線PQ的表達(dá)式并整理得:…①,
m+n=2﹣4k,mn=﹣4,
n﹣m=2==,
解得:k=0(舍去)或1;
將k=1代入①式并解得:x=,
故點P、Q的坐標(biāo)分別為:(,)、(,﹣)
(3)設(shè)點K(1,m),
聯(lián)立PQ和AC的表達(dá)式并解得:x=,故點G(,)
過點G作x軸的平行線交函數(shù)對稱軸于點M,交過點R與y軸的平行線于點N,
則△KMG≌△GNR(AAS),
GM=1-==NR,MK=,
故點R的縱坐標(biāo)為:,則點R(m﹣1,)
將該坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式解得:x=,
故m=,
故點K(1,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車都從A地駛向B地,并以各自的速度勻速行駛甲車比乙車早行駛,甲車途中休息了設(shè)甲車行駛時間為,下圖是甲乙兩車行駛的距離與的函數(shù)圖象,根據(jù)題中信息回答問題:
填空:______,______;
當(dāng)乙車出發(fā)后,求乙車行駛路程與的函數(shù)解析式,并寫出相應(yīng)的x的取值范圍;
當(dāng)甲車行駛多長時間時,兩車恰好相距50km?請直接寫出答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線與軸交于兩點,與軸交于點,,矩形的邊,延長交拋物線于點.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)如圖2,點是直線上方拋物線上的一個動點,過點作軸的平行線交直線于點,作,垂足為.設(shè)的長為,點的橫坐標(biāo)為,求與的函數(shù)關(guān)系是(不必寫出的取值范圍),并求出的最大值;
(3)如果點是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點,使得以為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點D坐標(biāo)為(2,﹣1),且過點B(3,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo);
(2)連結(jié)OD、CD、CB,CD交x軸于點E,求S△CEB:S△ODE.
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【題目】某中學(xué)計劃根據(jù)學(xué)生的興趣愛好組建課外興趣小組,并隨機抽取了部分同學(xué)的興趣愛好進(jìn)行調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩幅統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中的信息,完成下列問題:
學(xué)校這次調(diào)查共抽取了 名學(xué)生;
求的值并補全條形統(tǒng)計圖;
在扇形統(tǒng)計圖中,“圍棋”所在扇形的圓心角度數(shù)為 ;
設(shè)該校共有學(xué)生名,請你估計該校有多少名學(xué)生喜歡足球.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的邊AB的解析式為y=ax+2,頂點C,D在雙曲線y=(k>0)上.若AB=2AD,則k=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的袋子中裝有大小、形狀完全相同的三個小球,上面分別標(biāo)有1,2,3三個數(shù)字.
(1)從中隨機摸出一個球,求這個球上數(shù)字是奇數(shù)的概率是 ;
(2)從中先隨機摸出一個球記下球上數(shù)字,然后放回洗勻,接著再隨機摸出一個,求這兩個球上的數(shù)都是奇數(shù)的概率(用列表或樹狀圖方法)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(8分)如圖,已知O是坐標(biāo)原點,B、C兩點的坐標(biāo)分別為(3,-1)、(2,1)。
(1)以O(shè)點為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍畫出圖形。
(2)寫出B、C兩點的對應(yīng)點B、C的坐標(biāo);
(3)如果△OBC內(nèi)部一點M的坐標(biāo)為(x,y),寫出M的對應(yīng)點M的坐標(biāo)。
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