如圖,已知△ABC中,AB=4,BC=5,AC=6,把線段AB沿射線BC方向平移至PQ,直線PQ與直線AC交于點E,又連接BQ與直線AC交于點D.
(1)若BP=3,求AD的長;
(2)設(shè)BP=x,DE=y,試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)當BP為多少時,以Q、D、E為頂點的三角形與△ABC相似.

解:(1)連接AQ
∵AB∥PQ AB=PQ
∴四邊形ABPQ是平行四邊形,
∴AQ∥BP AQ=BP
∴△ADQ∽△CDB,
∵BP=3
∴AQ=3
,
,
;

(2)∵AB∥PQ,AQ∥BC,
,
∵AB=4,BC=5,AC=6,BP=x,DE=y,
當點P在邊BC上時,
,解得
,解得

當點P在邊BC的延長線上時,
,解得
,解得

綜上所述,(x>0)…

(3)∵AB∥PQ,∴△EDQ∽△ADB …
又以Q、D、E為頂點的三角形與△ABC相似,
∴△ADB與△ABC相似 …
∵∠BAC公共,又∠ABD≠∠ABC
∴∠ABD=∠ACB …

由(2)知,
得x=4
所以,當BP為4時,以Q、D、E為頂點的三角形與△ABC相似.…
分析:(1)連接AQ,由平行四邊形的判定定理可得出四邊形ABPQ是平行四邊形,進而可得出△ADQ∽△CDB,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論;
(2)由平行線分線段成比例定理可知,再根據(jù)點P在邊BC上或點P在邊BC的延長線上兩種情況討論即可;
(3)先由相似三角形的判定定理得出△EDQ∽△ADB,△ADB∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出BP的長.
點評:本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定定理及平行線分線段成比例定理,在解(2)時要注意分類討論,不要漏解.
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