Question

【題目】如圖，，矩形的邊、分別在、上，，，矩形沿射線方向，以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，矩形也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為．

（1）分別寫出點(diǎn)到、的距離（用含的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)不與矩形的頂點(diǎn)重合時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）設(shè)點(diǎn)到的距離為，當(dāng)時(shí)，求的值；

（4）若在點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與矩形也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，當(dāng)的一邊與的一邊平行時(shí)，直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)0＜t＜3時(shí)，；當(dāng)3＜t＜7時(shí)，；（3）；（4），，

【解析】

（1）過點(diǎn)B作x軸垂線，利用相似三角形可求得；

（2）分2種情況，一種是點(diǎn)P在AD上，另一種是點(diǎn)P在CD上，然后利用三角形面積公式可求得；

（3）直接令即可求出；

（4）存在3種情況，第一種是：QP∥BD，第二種是EP∥CD或EQ∥CB，第三種是QE∥BD，分別按照幾何性質(zhì)分析求解．

（1）如下圖，過點(diǎn)B作x軸垂線，垂足為點(diǎn)M

根據(jù)平移的特點(diǎn)，可得∠BOM=∠DBA

∵∠BMO=∠DAB=90°，∴△BMO∽△DAB

∵AB=4，AD=BC=3

∴BD=5

∵，OB=t

∴BM=，OM=

（2）情況一：當(dāng)0＜t＜3時(shí)，圖形如下，過點(diǎn)P作OD的垂線，交OD于點(diǎn)N

∵∠NDP=∠BDA，∠PND=∠BAD，∴△PND∽△BAD

∵AP=t，∴PD=3－t

∵，∴PN=

圖中，OD=5+t

∴

情況二：當(dāng)3＜t＜7時(shí)，圖形如下，過點(diǎn)P作OD的垂線，交OD于點(diǎn)N

圖中，PD=t－3，OD=5+t

同理，△PND∽△BCD，可得PN=

∴

（3）情況一：當(dāng)0＜t＜3時(shí)

則h=PN=

∵

∴

解得：t=

情況二：當(dāng)3＜t＜7時(shí)

則h=PN=

∵

∴

解得：t=7(舍)

（4）情況一：QP∥BD，圖形如下

由題意可得：BQ=，AP=t，則QA=4－，DP=3－t

∵BD∥QP

∴

代入得：4

解得：t=

∴OD=5+t=

情況二：如下圖，EP∥CD(或EQ∥CB)

∵點(diǎn)E是點(diǎn)A關(guān)于QP對稱的點(diǎn)

∴EP=PA，EQ=QA，QP=QP

∴△APQ≌△EPQ

∵EP∥CD，CD⊥AD

∴EP⊥AD

∴∠APQ=∠EPQ=45°

∴△AQP是等腰直角三角形，AQ=PA

∴4－

解得：t=

∴OD=5+t=

情況三：如下圖，QE∥BD，延長QE交DA于點(diǎn)N

∵△APQ≌△EPQ，∴∠QEP=∠QAP=90°

∴△ENP是等腰直角三角形

∵QN∥BD，∴∠NQA=∠DBA，∠A=∠A

∴△QNA∽△BDA

∵BQ=，AP=t，QA=4－，DP=3－t

∴

∴QN=5－，NA=3－t

∴EN=QN－QE=QN－QA=1－，NP=NA－AP=3－2t，EP=PA=t

∴在Rt△ENP中，

解得：t=或t=3(舍)

∴OD=5+t=