Question

【題目】如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH

（2）△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?．

證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，

在△ABP和△QBP中 ，

∴△ABP≌△QBP（AAS）．

∴AP=QP，AB=BQ．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8

（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，

則FM=BC=AB．

又∵EF為折痕，

∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

∴△EFM≌△PBA（ASA）．

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．

解得， ．

∴ ．

又∵折疊的性質(zhì)得出四邊形EFGP與四邊形BEFC全等，

∴ ．

即： ．

配方得， ，

∴當(dāng)x=2時，S有最小值6．

【解析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先證明△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，進而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2 ， 利用二次函數(shù)的最值求出即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．