Question

【題目】如圖，矩形的對(duì)角線， 相交于點(diǎn)， 關(guān)于的對(duì)稱圖形為．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接，若， ．

①求的值；

②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)，求的長和點(diǎn)走完全程所需的時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）① ；②和 走完全程所需時(shí)間為 .

【解析】試題分析：（1）利用四邊相等的四邊形是菱形進(jìn)行證明即可；

（2）①構(gòu)造直角三角形求即可；

②先確定點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)的位置，再計(jì)算運(yùn)到的時(shí)間.

試題解析：（1） 四邊形 是矩形， ，

與 交于點(diǎn)O,且 關(guān)于 對(duì)稱，

，

，

四邊形 是菱形；

（2）①連接 ,直線 分別交 于點(diǎn) ,交 于點(diǎn) ，

關(guān)于 的對(duì)稱圖形為 ，

，

在矩形 中， 為 的中點(diǎn)，且O為AC的中點(diǎn)，

為 的中位線 ， ，

同理可得： 為 的中點(diǎn)， ，

，

；

②過點(diǎn)P作 交 于點(diǎn) ，

由 運(yùn)動(dòng)到 所需的時(shí)間為3s，

由①可得， ，

點(diǎn)O以 的速度從P到A所需的時(shí)間等于以 從M運(yùn)動(dòng)到A，

即： ，

由O運(yùn)動(dòng)到P所需的時(shí)間就是OP+MA和最小.

如下圖，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到 ,即 時(shí)，所用時(shí)間最短.

，

在 中，設(shè)， ，

，

解得： ， ，

和 走完全程所需時(shí)間為.