Question

【題目】已知關于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求證：無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設方程兩實數(shù)根分別為x1 ， x2 ， 且滿足 ，求實數(shù)p的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，

x2﹣5x+6﹣p2=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，

∵無論p取何值時，總有4p2≥0，

∴1+4p2＞0，

∴無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）

證明：x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，

∵ ，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，

∴52=5（6﹣p2），

∴p=±1．

【解析】（1）化成一般形式，求根的判別式，當△＞0時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
　　　�。�2）根據(jù)根與系的關系求出兩根和與兩根積，再把 變形，化成和與乘積的形式，代入計算，得到一個關于p的一元二次方程，解方程．
本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，注意熟記以下知識點：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當△＜0時，方程無實數(shù)根．
上面的結論反過來也成立．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實數(shù)根分別為x1 ， x2 ， 則有 ， ．