Question

如圖平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)E、F分別在CD、BC的延長(zhǎng)線上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足為點(diǎn)F，DF=2
（1）求證：D是EC中點(diǎn)；
（2）求FC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
AB∥CD，且AB=CD，
又∵AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB=DE，
∴CD=DE，
即D是EC的中點(diǎn)；

（2）解：連接EF，∵EF⊥BF，
∴△EFC是直角三角形，
又∵D是EC的中點(diǎn)，
∴DF=CD=DE=2，
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∴△CDF是等邊三角形，
∴FC=DF=2．
故答案為：2．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以證明四邊形ABDE是平行四邊形，所以AB=DE，故D是EC的中點(diǎn)；
（2）連接EF，則△EFC是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到△CDF是等腰三角形，再利用∠ABC=60°推得∠DCF=60°，所以△CDF是等邊三角形，F(xiàn)C=DF，F(xiàn)C的長(zhǎng)度即可求出．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，（2）中連接EF構(gòu)造出直角三角形比較重要．