Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1)拋物線的解析式為 y=x+x-4；（2）S= =-（m+2）2+4，4；（3）Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）或（4，-4）

【解析】

（1）先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用三點(diǎn)法求解函數(shù)解析式．
（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用S=S△AOM+S△OBM-S△AOB即可進(jìn)行解答；
（3）當(dāng)OB是平行四邊形的邊時(shí)，表示出PQ的長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出方程求解即可；當(dāng)OB是對(duì)角線時(shí)，由圖可知點(diǎn)A與P應(yīng)該重合．

（1）設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0），

將A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：

，解得，

所以此函數(shù)解析式為：y=x2+x﹣4；

（2）∵M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，m2+m﹣4），

∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB

=×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4

=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m，

=﹣（m+2）2+4，

∵﹣4＜m＜0，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，S有最大值為：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2時(shí)，S有最大值，S=4．

（3）設(shè)P（x， x2+x﹣4）．

當(dāng)OB為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB，且PQ=OB，

∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo)，

又∵直線的解析式為y=﹣x，

則Q（x，﹣x）．

由PQ=OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|=4，

解得x=0，﹣4，﹣2±2．

x=0不合題意，舍去．

如圖，當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí)，知A與P應(yīng)該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標(biāo)為4，代入y=﹣x得出Q為（4，﹣4）．

由此可得Q（4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．