Question

【題目】已知：如圖，ABCD的兩條對角線相交于點O，E是BO的中點．過點B作AC的平行線BF，交CE的延長線于點F，連接AF．
（1）求證：△FBE≌△COE；
（2）將ABCD添加一個條件，使四邊形AFBO是菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取BC的中點G，連接EG．

∵E是BO的中點，

∴EG是△BFC的中位線，

∴EG= BF．

同理，EG= OC，

∴BF=OC．

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，

∴BF=OC．

又∵BF∥AC，

∴∠FBE=∠COE．

在△FBE△COE中， ，

∴△FBE≌△COE（AAS）

（2）解：當AC=BD時，四邊形AFBO是菱形．理由如下：

∵AC=BD，

∴平行四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC=OB=OD，

∴平行四邊形AFBO是菱形．

【解析】（1）由AAS證得兩個三角形全等即可．（2）當平行四邊形ABCD的對角線相等，即平行四邊形ABCD是矩形時，四邊形AFBO是菱形．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質和菱形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．