Question

如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”。如4=2²－0²，12=4²－2²，20=6²－4²，因此，4，12，20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)。

1.28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？

2.設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？

兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是神秘嗎？為什么？

 

Answer 1

 

1.∵28=8²-6²   2012=504²-502²

         ∴28和2012這兩個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)。

2.設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘?cái)?shù)為x

       ∴x=(2k+2)-(2k)²

          =4(2k+1)

       ∴這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)。

   （3）由（2）可得，神秘?cái)?shù)可表示為4(2k+1)，因?yàn)?2k+1)是奇數(shù)，因此神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)，但一定不是8的倍數(shù)。

     設(shè)定兩個(gè)奇數(shù)為2n+1和2n-1，則(2n+1)²－(2n-1)²=8n.

       ∴兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)

       ∴兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)。

解析:略