【題目】AOB中,C,D分別是OA,OB邊上的點(diǎn),將OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OCD

(1)如圖1,若AOB=90°,OA=OB,C,D分別為OA,OB的中點(diǎn),證明:AC=BD;AC′⊥BD;

(2)如圖2,若AOB為任意三角形且AOB=θ,CDAB,AC與BD交于點(diǎn)E,猜想AEB=θ是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;

(2)成立,理由見(jiàn)解析

【解析】

試題分析:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OC,OD=OD,AOC=BOD,證出OC=OD,由SAS證明AOC′≌△BOD,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;

由全等三角形的性質(zhì)得出OAC=OBD,又由對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出BEA=90°,即可得出結(jié)論;

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OC,OD=ODAOC=BOD,由平行線得出比例式,得出,證明AOC′∽△BOD,得出OAC=OBD再由對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理即可得出AEB=θ

試題解析:(1)證明:①∵△OCD旋轉(zhuǎn)到OCD,

OC=OC,OD=OD,AOC=BOD,

OA=OB,C、D為OA、OB的中點(diǎn),

OC=OD,

OC=OD,

AOCBOD中,,

∴△AOC′≌△BOD(SAS),

AC=BD

延長(zhǎng)AC交BD于E,交BO于F,如圖1所示:

∵△AOC′≌△BOD,

∴∠OAC=OBD,

AFO=BFE,OAC+AFO=90°

∴∠OBD+BFE=90°,

∴∠BEA=90°,

AC′⊥BD

(2)解:AEB=θ成立,理由如下:如圖2所示:

∵△OCD旋轉(zhuǎn)到OCD

OC=OC,OD=OD,AOC=BOD,

CDAB,

,

,

AOC=BOD

∴△AOC′∽△BOD,

∴∠OAC=OBD,

AFO=BFE,

∴∠AEB=AOB=θ

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