Question

已知拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸相交于點C，該拋物線的頂點為點M，對稱軸與BC相交于點N，與x軸交于點D．

（1）求該拋物線的解析式及點M的坐標；

（2）連接ON，AC，證明：∠NOB=∠ACB；

（3）點E是該拋物線上一動點，且位于第一象限，當點E到直線BC的距離為時，求點E的坐標；

（4）在滿足（3）的條件下，連接EN，并延長EN交y軸于點F，E、F兩點關于直線BC對稱嗎？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，

∴，

 解得．

∴拋物線為y=﹣x²+x+2；

∴拋物線為y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，

∴頂點M（，）．

（2）如圖1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），

∴直線BC為：y=﹣x+2，

當x=時，y=，

∴N（，），

∴AB=3，BC=2，OB=2，BN==，

∴==，==，

∵∠ABC=∠NBO，

∴△ABC∽△NBO，

∴∠NOB=∠ACB；

（3）如圖2，作EF⊥BC于F，

∵直線BC為y=﹣x+2，

∴設E（m，﹣m²+m+2），直線EF的解析式為y=x+b，

則直線EF為y=x+（﹣m²+2），

解 得，

∴F（m²，﹣m²+2），

∵EF=，

∴（m﹣m²）²+（﹣m²+2+m²﹣m﹣2）²=（）²，

解得m=1，

∴﹣m²+m+2=2，

∴E（1，2），

（4）如圖2，延長EF交y軸于Q，

∵m=1，

∴直線EF為y=x+1，

∴Q（0，1），

∵F（，），

∴FQ==，

∵EF=，EF⊥BC，

∴E、F兩點關于直線BC對稱．