【題目】如圖,在△ABC中,點OAC邊上一動點,過點OBC的平行線交∠ACB的角平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F

1)求證:EOFO;

2)當點O運動到何處時,四邊形CEAF是矩形?請證明你的結論.

3)在第(2)問的結論下,若AE3,EC4,AB12,BC13,請直接寫出凹四邊形ABCE的面積為   

【答案】1)詳見解析;(2)當點O運動到AC的中點時,四邊形CEAF是矩形,理由詳見解析;(324

【解析】

1)由平行線的性質和角平分線的定義得出∠OEC=∠OCE,證出EOCO,同理得出FOCO,即可得出EOFO;

2)由對角線互相平分證明四邊形CEAF是平行四邊形,再由對角線相等即可得出結論;

3)先根據(jù)勾股定理求出AC,得出△ACE的面積=AE×EC,再由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形,得出△ABC的面積=ABAC,凹四邊形ABCE的面積=△ABC的面積﹣△ACE的面積,即可得出結果.

1)證明:∵EFBC,

∴∠OEC=∠BCE

CE平分∠ACB,

∴∠BCE=∠OCE,

∴∠OEC=∠OCE,

EOCO,

同理:FOCO,

EOFO;

2)解:當點O運動到AC的中點時,四邊形CEAF是矩形;理由如下:

由(1)得:EOFO,

又∵OAC的中點,

AOCO,

∴四邊形CEAF是平行四邊形,

EOFOCO,

EOFOAOCO

EFAC,

∴四邊形CEAF是矩形;

3)解:由(2)得:四邊形CEAF是矩形,

∴∠AEC90°,

AC5,

ACE的面積=AE×EC×3×46,

122+52132,

AB2+AC2BC2,

∴△ABC是直角三角形,∠BAC90°,

∴△ABC的面積=ABAC×12×530,

∴凹四邊形ABCE的面積=△ABC的面積﹣△ACE的面積=30624;

故答案為:24

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