Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，正方形EFGH的邊長(zhǎng)為3，正方形EFGH可在線段AD上滑動(dòng)．EC交AD于點(diǎn)M．設(shè)AF=x，F(xiàn)M=y，△ECG的面積為s．
（1）求y與x之間的關(guān)系；
（2）求s與x之間的關(guān)系；
（3）求s的最大值和最小值；
（4）若放寬限制條件，使線段FG可在射線AD上滑動(dòng)，直接寫出s與x之間的關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明△EFM∽△CDM，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等得到=，即，進(jìn)而得出y=-x+；
（2）先表示出MG=3-y，再由△ECG的面積=△EMG的面積+△CMG的面積即可得出s=x+；
（3）先求出自變量x的取值范圍是0≤x≤5，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出s的最大值為12，最小值為；
（4）由于EC交線段AD于點(diǎn)M，線段FG可在射線AD上滑動(dòng)，得出0≤x＜8，畫出5＜x＜8時(shí)的圖形，根據(jù)△ECG的面積=△EMG的面積+△CMG的面積即可得出s=x+．
解答：解：（1）∵EF⊥AD，CD⊥AD，∴EF∥CD，
∴△EFM∽△CDM，∴=，
∴=，即，
∴y=-x+；

（2）∵FG=3，F(xiàn)M=y，
∴MG=FG-FM=3-y．
∵△ECG的面積=△EMG的面積+△CMG的面積，
∴s=×（3-y）×3+×（3-y）×8=×（3-y）×11，
∵y=-x+，
∴s=×（3+x-）×11=x+，
∴s=x+；

（3）∵正方形EFGH在線段AD上滑動(dòng)，AD=8，F(xiàn)G=3，
∴0≤x≤5．
∵s=x+，＞0，
∴s隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=5時(shí)，s有最大值，最大值為×5+=12，
當(dāng)x=0時(shí)，s有最小值，最小值為×0+=．
故s的最大值為12，最小值為；

（4）若線段FG在射線AD上滑動(dòng)，則0≤x＜8．
①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，由（2）知s=x+；
②當(dāng)5＜x＜8時(shí)，如圖．
∵FG=3，F(xiàn)M=y，
∴MG=FG-FM=3-y．
∵△ECG的面積=△EMG的面積+△CMG的面積，
∴s=MG•EF+MG•CD=×（3-y）×3+×（3-y）×8=×（3-y）×11，
∵y=-x+，
∴s=×（3+x-）×11=x+，
∴s=x+．
綜上可知，當(dāng)線段FG在射線AD上滑動(dòng)時(shí)，s=x+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得到y(tǒng)與x之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．